Coordonnées polaires. — Ëtant donnés le système d'axes

rectangulaires Oxyz et un point M {fig, 39), considérons la droite indéfinie passant par 0 et M et sur cette droite un sens positif OD; nous appellerons rayon vecteur de M le segment OM, et nous désignerons par p sa valeur algébrique sur la droite dirigée OD. Le plan indéfini déterminé par les deux droites Oz et OD est partagé par Taxe des z en deux demi-plans; considérons seulement celui de ces deux demiplans qui contient la demi-droite

OD et appelons Od sa trace sur le plan des xy .

Dans le plan xOy choisissons comme sens positif celui dans

lequel on doit faire tourner une droite confondue avec Ox pourTamener

à coïncider avec Oy par une rotation de ^, et désignons par •]; Tangle

ma

{Ox, Od)\ dans le demi-plan zdz\ choisissons de même comme sens positif celui dans lequel on doit faire tourner une droite confondue

Fig. 39.

avec Oz poiu* l'amener à coïncider avec Od par une rotation de

et

désignons par 6 Tangle (Oz, OD).

Nous voyons qu'à chaque système de valeurs de <j;, ô et p correspond un seul point M de Tespace, car ip détermine 0^ et le demi-plan zdz\ 6 détermine dans ce demi-plan la droite dirigée OD, et p détermine sur cette droite le point M.

Mais inversement, à un point M correspondent une infinité de systèmes de valeurs de ^, 6 et p; il faut cependant remarquer que si l'on a choisi la direction positive OD, p est déterminé d'une manière unique ; de plus, il existe une valeur de 6 et une seule comprise entre 0 et tc, et une seule valeur de ^ comprise entre 0 et 2:c qui correspondent à cette direction ; on se contente souvent de

COORDONNÉES DANS l'eSPAGE 135

prendre les valeurs de 9 et de ^ comprises dans les limites précédentes.

Les nombres p , 6 , ij; sont appelées coordonnés polaires du point M ; pour passer de ces coordonnés aux coordonnées cartésiennes X, y , Zy nous remarquons que la projection OQ du segment OM sur le plan des xy a pour valeur

(OQ) = p sin 6 ,

et nous obtenons les relations

X = (OQ) cos «]/ = p sin 6 cos ^ , y = (OQ) sin tf = p sin 6 sin <}/ , z = (OM) cos 6 = p cos 6 ;

elles donnent inversement

p = ±\/x^-{-y^-hz', cos 0 = — » cos ^ = — : — - » sm <J; = "^

p ^ p sin ô ^ p sin 6