CHAPITRE I

DÉRIVÉES DES FONCTIONS D'UNE VARIABLE

110. Des fonctions. — Lorsqu'on attribue à une variable x successivement toutes les valeurs depuis un nombre a jusqu'à un nombre 6, on dit qu'on la fait varier d'une manière continue dans rintervalle (a^ h) ; les deux nombres a, h sont appelés les limites de cet intervalle.

Si à chaque valeur de x on fait correspondre une valeur d'une autre variable y, on dit que la seconde est une fonction de la première.

Cette correspondance peut être établie de plusieurs manières ; ordinairement on donne une formule permettant de calculer la valeur de y correspondant à chaque valeur de x dans l'intervalle où la fonction est définie ; on dit alors que y est une fonction explicite de X ; exemples :

Dans ces exemples, le calcul de y comprend un nombre fini d'opérations algébriques, et l'on dit que y est une fonction algébrique

DÉBIVÉËS ET DIFFÉRENTIELLES

te de x; dans le premier cas, elle est rationnelle et entière,

e second cas, rationnelle et Tractionnaire et dans le troisième,

nnelle.

es autres Tonctions explicites, telles que

y = a', y^logx, t/^sini,

ites transcendantes; les deux premières ont été définies dans la ère partie; la troisième est définie en trigonométrie, orsqu'une fonction est définie par une relation entre y et x, solue par rapport à y, on dit qu'elle est impticile ; les équations

y^ — 2xy-\-i =0, sin y = e'

linent des Tonctions implicites; la première est dite algébrique qu'elle est définie par une équation algébrique entre x et y\ onde est transcendante.

lOrsque la définition d'une fonction ne fait correspondre à chaque ■ de X qu'une seule valeur de y, on dit que cette fonction est -me, sinon qu'elle est multiforme ou à plusieurs branches; les ons implicites précédentes ne sont pas uniformes ; ordinairement oisit dans ce cas une valeur particulière de y pour en faire E quand X varie.

'our beaucoup de fonctions, la valeur numérique de y corresnt à une valeur de x est déterminée comme limite d'une suite mbres qu'on peut calculer successivement; c'est ce qui a lieu pour y ^=V^ lorsque a- n'est pas carré parfait ; nous admettrons irs que la définition d'une fonction permet d'en calculer la valeur rique exacte ou approchée autant qu'on le vent.