Fonctions conllnues. ~ Lorsqu'on considère deux valeurs
es de la variable, x et j-i-A, on dit que l'on passe de la
ère à la seconde en donnant à x un accroissement A ; cet
ssement peut être positif ou négatif.
ouvent, pour désigner la valeur absolue d'un nombre algébrique,
ace ce nombre enlre deux traits verticaux ; ainsi | h \ repré-
la valeur absolue du nombre positif ou négatif h.
ioit y une fonction donnée de x dans un intervalle et repré-
DÉRIVÉES DES FONCTIONS d'uNE VARIADLE 139
sentée par f[x)\ désignons par y-hk sa valeur pour x-\-h; la
diCFérence
k = {fx-hh) — f{x)
de ses deux valeurs est raccroissement de la fonction correspondant à raccroissemment h de la variable. On dit que y est une fonction continue pour la valeur x si Taccroissement de la fonction a pour limite zéro quand celui de la variable tend vers zéro ; on le reconnaît à ce que la valeur absolue | k \ peut devenir aussi petite que Ton veut pour des valeurs suffisamment petites de \ h \.
Exemple, — La fonction oc^ est continue pour toute valeur de x, car on a
fc = (a; -h A)"» — X" = A [(a? -h A)"»-* -h x (a; -+- A)*"""^ -f- • • • +a;*"'*],
et le second membre tend vers zéro avec h .
Une fonction non continue pour une valeur x est dite discontinue pour cette valeur; par exemple la fonction rationnelle
xH-i ^~x—i
est discontinue pour x = i , car y n'existe pas pour cette valeur, et la fonction augmente indéfiniment en valeur absolue lorsque x tend vers i .
Dire qu'une fonction est continue pour x, c'est dire que f[x-{-h) a pour limite f\x) quand h tend vers zéro. Cette remarque, et les propriétés démontrées pour les limites (n*»' 26 et 27) nous permettent d'énoncer ce théorème:
La somme y la différence, le produit ou le quotient de deux fonctions continues sont aussi des fonctions continues ; toute expression rationnelle constituée au moyen de fonctions continues est aussi continue tant que le dénominateur n'est pas nul.
Par exemple un polynôme entier
y = AoX« -h AiX"-* -h ••• -hA„,xH-A^
est une fonction continue pour toute valeur de a-, puisque ses termes le sont; un tel polynôme diffère très peu de son terme constant A,„ lorsque x est très petit en valeur absolue.
DÉRIVÉES El' DIFFÉRENTIELLES
la écrivant ce polynôme sous la forme
j,=:^[a.-hA,±+ ... +A.1],
it que pour les valeurs de x très grandes en valeur absolue, la thèse dilTcre peu de Ad, et le polynôme a le même signe que son de plus haut degré Aqx".
.e quotient de deux polynômes est une Tonction continue pour i les valeurs de x qui n'annulent pas le dénominateur.
.12. Dérivée d'une fonctloD. — Soit f{x) une fonction conlinue la valeur x de la variable ; donnons à j; un accroissement h iignons par k raccroissement correspondant de y ; si le rapport ccroissenient k de la fonction à l'accroissement h de la variable vers une limite déterminée quand celui-ci tend vers zéro, on dit ette limite est la dérivée de la fonction pour la valeur de x conle ; on la représente par y' ou par f'{x), et l'on écrit
II' ^ Il m — — litn ' ^ '- Li — '- .
I est nécessaire que k tende vers zéro en même temps que A, h-à'iTC que la fonction soit continue pour qu'elle ait une dérivée : cette condition n'est pas toujours suffisante, et il existe des pies de fonctions continues n'ayant pas de dérivée. De tels cas ;out à fait exceptionnels, et les fondions usuelles ont une dérivée toutes les valeurs oii elles sont continues, comme nous le verrons
113. Application géométrique . — Une des applications les plus 'lanles du calcul des dérivées est la déleruiination des tangentes •ourbes. On appelle tangente à une courbe en un point M la r des positions d'une sécante HM' passant par M et par un point I M' situé sur la courbe lorsque ce dernier se rapproche indéfinidu premier.
considérons en coordonnées cartésiennes [pff. 40) une courbe
dont l'ordonnée y est une fonction donnée de l'abscisse ;
y = /i[j'} cette fonction. Prenons sur cette courbe un point M
DÉBIVÉES DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE
de coordonnées x et y et un point voisin M' dont nous représenterons les coordonnées par
Fig. 40.
x-\-h et y -{-k\ k est Taccroissement de la fonction y correspondant à Taccroissement h de la variable. La sécante MM'
a pour coefficient angulaire le rap-
k port -r- de la différence des or-
données à la différence des abscisses des points M et M'; si la fonction y a une dérivée, c'est que le rapport précédent a une limite quand h tend vers zéro, et par suite que le coefficient angulaire de MM' a une limite déterminée égale à cette dérivée quand le point M' se rapproche indéfiniment de M. Nous concluons de là que la sécante a une position limite, et cette position limite est la tangente au point M à la courbe. Cette tangente est déterminée par son coefficient angulaire, qui est égal à la dérivée y' de y ; nous pouvons donc énoncer le résultat suivant :
Le coefficient angulaire de la tangente en un point d'une courbe plane est égal à la dérivée de l'ordonnée considérée comme fonction de F abscisse.
114. Dérivées successives. — La dérivée y' ou f'{x) étant déterminée pour chaque valeur de x où elle existe, est elle-même une fonction de cette variable et peut posséder une dérivée ; lorsque celle-ci existe, on l'appelle dérivée seconde de y, et ou la représente par y" ou fix). C'est une nouvelle fonction de x dont la dérivée est appelée dérivée troisième de y et est représentée par y"' ou f'ix), et ainsi de suite ; y' est quelquefois appelée dérivée première.
Nous allons calculer la dérivée première des fonctions usuelles ; les dérivées suivantes s'en déduiront par l'application des règles trouvées.
115. Dérivée des fonctions simples. — \° Dérivée d'une constante.
— Si une fonction y reste constante pour toute valeur de x^ son ac-
k croissement k est toujours nul, ainsi que le rapport —; la limite de
iiAiL
ce rapport est donc toigours nulle également ; on conclut de là que la dérivée d'une constante est nulle.
2° Dérivée de y = af. — Nous supposons m entier et positif; les valeurs de la fonction pour x et x-\-h sont af et (x -f- A)*", de sorte que Taccroissement A de y correspondant à Taccroissement h de X est [x-\-hY — x^. Cette différence est divisible par la différence [x-\-h) — x = h, et en effectuant le quotient on a
on en déduit
Lorsque h tend vers zéro, tous les termes du second membre qui sont en nombre m, ont pour limite x^-"\ de sorte que ce second membre a une limite égale à maf"-^ ; on a par suite ce résultat :
La dérivée de x^ est mx"""*.
3° Dérivée de y = e*. — Aux valeurs x et x-hh correspondent pour la fonction les valeurs e* et e""^*, et à Taccroissement h donné à x correspond pour y l'accroissement
le rapport des deux accroissements a pour valeur
Nous avons vu (n° 48) que le rapport
a pour limite lunité
quand k tend vers zéro ; nous en concluons que le second membre a pour limite e* ; d'où :
La dérivée de e" est égale à e* lui-même.
Nous pouvons ajouter que toutes les dérivées successives de e* sont égales à e*.
4° Dérivée de y = log x. — Nous entendons par ce symbole le logarithme népérien de x. Aux valeurs x et x-hA correspondent pour la fonction les valeurs logx et \og{x-hh), et à l'accrois-
DÉRIVÉES DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE 143
sèment h donné à x correspond pour y raccroissement
fc = log(a:-4-A)-logx = log(^^)=logA-4--^\;
lorsque h tend vers zéro, il en est de même de A, ce qui montre
k déjà que la fonction est continue ; le rapport — peut s'écrire
=i'»«('-!)={fK'-!)=i'«<'-:) ■
La quantité sous le signe lôg est de la forme (1 -ha)", a ayant pour valeur — » et ayant pour limite zéro quand h tend vers zéro ;
JC
on sait que la limite de cette expression est égale au nombre e (n"" 52) ; comme loge est égal à Tunité, la limite du second membre est égale
a — ; d ou :
La dérivée de logx est égale à — •
116. Dérivée des fonctions simples trigonométriques. — 1° Dérivée de y = sin x. — Aux valeurs x et x -f- /i de la variable correspondent pour la fonction les valeurs sinx et sin (x -h A), et à raccroissement h donné à x correspond pour y Taccroissement
/c = sin (x -h A) — sinar = 2sin~cos (^H-"^) î
cet accroissement tend vers zéro avec h, ce qui montre déjà que la
k fonction est continue ; le rapport — peut s'écrire
