COS

(*+2)=nr''"K''^2)'

lorsque h tend vers zéro, le premier facteur, qui est le rapport du sinus à Tare, a pour limite lunité, et le deuxième a pour limite cosx, de sorte que la limite du second membre est cosx, d'où :

La dérivée de sin x est cos x .

2^ Dérivée de y = cosx, — Aux valeurs x et x-hh, correspondent pour la fonction les valeurs cosx et cos(x-i-A), et à Faccroissement h donné à x correspond pour y Faccroissement

k = cos [x-h h) — cos X = — 2 sin — sin/ x -f- — - j ;

cet accroissement tend vers zéro avec h , ce qui montre que la fonction

k est continue ; le rapport — peut s'écrire

La limite du second membre est, pour la même raison que précédemment, égale à — sinx, d'où:

La dérivée de cosx esl — sinx.

3** Dérivée de y = tg x. — Aux valeurs x et x-h h correspondent pour la fonction les valeurs tg x et tg [x -h h), et à Taccroissement h donné à x correspond pour y Faccroissement

, L f , L^ 1 sin(j:--f-/i) sinx

sin h

cos {x-h h) cos X cos (x -f- h) cos x '

cet accroissement tend vers zéro avec h lorsque cos x n'est pas nul, ce qui montre que la fonction est continue, sauf pour les valeurs de x

qui la rendent infinie, et qui sont de la forme x = {2k-\-{) — \ le

k rapport - peut s'écrire h

k sin h 1

h h cos (x -f- h) cos x '

lorsque h tend vers zéro, le premier rapport du second membre a

pour limite Funité et le second, — — - , de sorte que la limite de -^ est

cos=*x h

— — , et l'on a ce résultat :

cos^x

La dérivée de tg x est ~ , •

cos^x 117. Dérivée des fonctions Inverses. — Ëtant donnée une

DÉRIVÉES DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE 145

fonction continue définie par Téquation y = /"(x), la correspondance établie par cette équation entre x et y permet de dire qu'à chaque valeur de y dans un certain intervalle correspondent une ou plusieurs valeurs de x\ x est ainsi uyie fonction de y que Ton appelle tnyerse de la première. Nous allons démontrer que les dérivées de deux fonctions inverses ont des valeurs inverses ru ne de l'autre.

Soient x et x-\-h deux valeurs voisines de la variable x, auxquelles correspondent les valeurs y et y -\- k de la première fonc-

k tion y; nous supposons que — a une limite y' ou f'{x) lorsque

h tend vers zéro. Lorsque Ton. considère x comme fonction de y , les accroissements correspondants de la fonction x et de la variable

y sont cette fois h et k, et leur rapport est — ; comme il est Tin-

verse du premier, il a une limite qui est Tinverse de la première ; on en conclut que la fonction x de 1/ a une dérivée x' qui est Tinverse de la dérivée y' de la fonction y de x, ce qu*il fallait démontrer

Nous allons appliquer ce raisonnement à la recherche de la dérivée des fonctions circulaires inverses.

118. Dérivée des fonctions trigonoinéiriques inverses. — \° Dérivée de i/ = arcsinx. — Si le sinus d'un arc y est désigné par x, inversement à un sinus égal à x et compris entre — 1 et -h 1 correspondent une infinité d'arcs y ; en désignant par p celui d'entre

eux qui est compris entre — — et H- -^ ' tous les autres sont com-

mé ma

pris dans les formules

i/ = 2A:ir-+-p, y = {2k'\-\)'K — ^.

L'un quelconque de ces arcs ayant pour sinus x est désigné sous le nom de arc sin x, mais on ne considère ordinairement que le premier p, et c'est le seul que nous étudierons comme fonction de x; nous allons calculer sa dérivée en utilisant celle de sa fonction inverse.

La fonction inverse de î/ = arcsinx est x = sin;i/, dont la

dérivée est (n° 116)

x' = cos y ;

dès lors, on a d'après le théorème démontré dans le n° précédent, VocT. — Math. sup. 10

DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES - = . et comme cosy est égal à \\ — sin*i/ ou égal

~x', on a

t prendre le signe + devant le radical car cosy est positiT e cas actuel ; pour un autre choix de y, on doit prendre le avec le signe + ou le signe — , suivant que cosy est ou négatif; en se limitant au cas ordinaire, on a ce résultat:

% dérivée de arc sin x est -^==l/l-x' Dérivée de y ^ arc cos x. — A un cosinus x compris entre Et H-1 correspondent une inHnité d'arcs y; si p est celui > eux qui est compris entre 0 et Tt, tous les autres sont comms la formule

y = 2hc±^.

un quelconque de ces arcs ayant pour cosinus x est appelé .X, mais on considère ordinairement l'arc p, et c'est le seul DUS étudierons comme fonction de x\ la fonction inverse de c cos X est i = cos y dont la dérivée est (n* 1 16)

a;' = — sin y.

en faisant un raisonnement analogue au précédent, on a

^ x' siny i/rr^'

:!al étant pris avec le signe + puisque sin y est positif; pour re choix de y, on prendra devant le radical le signe de sîny; nsi ce résultat:

i dérivée de arccosa; est —^. — ^■ V^l— x' Dérivée de y = arctgx. — A une tangente égale à x coriont une infinité d'arcs y; si p est celui d'entre eux qui

[pris entre — -r et -l-^i tous les autres sont compris dans

ule

y = K + fl.

on a ainsi ce résultat :

La dérivée de arc tgx est

i-hx'

119. Dérivée d'une fonction composée. — Étant données des fonctions simples de x, désignées par u, v, w, . . . , et dont les dérivées sont supposées connues, toute fonction y de u, v, Wy . . . est appelée fonction composée de x: nous allons montrer dans les cas usuels comment on peut déterminer la dérivée d'une pareille fonction au moyen de celles des fonctions composantes. Pour plus de commodité, nous représenterons par Ax Taccroissement de la variable, et par Ay^ lu, \v, ... les accroissements correspondants des fonctions y, u, Vy ... .

1** Considérons d'abord le cas où y est le produit d'une fonction u par une constante A; l'accroissement Ay est égal à ÂAu, et Ton a, en divisant par Ix,

Ix Ax '

lorsque Ax tend vers zéro, le rapport — a par hypothèse une

limite a', par suite le premier membre a une limite et y a une dérivée

de sorte que la dérivée de Au est Au'.

2® Dérivée d'une somme. — Soit une somme de trois fonctions

y = u -hv-^-w;

DÉRIVÉES DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE 147 ";

L'un quelconque de ces arcs ayant pour tangente x est appelé arctgx, mais on considère ordinairement l'arc p, ef c'est le seu! i

que nous étudierons comme fonction de x; la fonction inverse de i

y = arc tg X est x ^ tg y, dont la dérivée est

co%^ y on a alors, par un raisonnement analogue aux précédents,

y' = - = cos^y =

DÉBIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES

lent 4a! delà variablecorrespondentdesaccroissements o, et raecroissement de y est égal à la somme des . des autres fonctions ; on a donc

iy = Au + Atf + 4ic ;

Ax, on a

^x Ax Ax Aa;

nd vers zéro, chacun des rapports du second membre a e à la dérivée de la fonction correspondante ; par suite L une égale à leur somme, et y a une dérivée égale à

iérivée d'une somme UH- u -H to est égale à la somme des dérivées.

— La dérivée d'un polynôme

- A|X'^' -H AjX*-' + ■■■ -I- Ab-îX' -H A.^|X -H A„

tomme des dérivées de ses termes ; d'après ce que nous 1 dérivée de x", elle a pour valeur

-F (m — i )A,x"-' -4- (m — 2)AiX"->

+ ■ ■ ■ + 2A„iX + A^, ;

donne pour valeur de la dérivée seconde

|AoX"-^-h(m — l)(m — 2)A,ar'^+ ■■• H-2.1.A^,.

e ; les dérivées successives sont des polynômes dont le icroissant ; la dérivée m' est une constante : ,w = „(m !)(,„ 2) ... 2.1. A., suivantes sont toutes nulles.

érit'ée d'an produit. — Soit le produit de deux fonctions

et c-i-Ai' les valeurs que prennent les dcu*; facteurs

DÉRIVÉES DES FONCTIONS d'dNE VARIABLE 149

pour la valeur x-hàjc de la variable ; à raccroissement éix correspondent pour u ei V les accroissements Au et âiv, et pour y raccroissement

Ay = [u -h Av) {v -h Aa) — uj; ^ Au . V -I- li; . u 4- Au . Au ;

en divisant par Ax^ on a

Ay Au ^^ 4 ^"

Ax Ax Ax Ax *

Lorsque Ax tend vers zéro, — et — ont des limites égales

Ax Ax

aux dérivées u' et v' ; Af tend vers zéro, et le dernier terme du second membre tend aussi vers zéro ; on en conclut que le second membre a une limite égale à la somme u'r -4- v'u des limites des deux premiers termes, et par suite que y a une dérivée égale à

d*où : la dérivée d'un produit uv est égale à u'v -h v'u . Exemples. — Les fonctions

i^ = (3x — i)(x^-4-2), z = sinxcosx

ont pour dérivées

y' = 3(x2 -h 2) -h 2x(3x — 1) = 9x2 — 2x -h 6 , z' = cos'-^ X — sin'^ X .

Si Ton a trois facteurs u,v,Wj on peut supposer d abord effectué le produit des deux derniers ; on a, d'après ce qui précède,

y' = u'{mv) -h u{vivy ;

en remplaçant la dérivée du produit vw par sa valeur explicite au dernier terme, on a

y' = u'vw -h u{v'w -f- w'v) = u'vw -\- v'uw -+- lo'uv .

On pourrait opérer de la même façon dans le cas d'un produit d'un plus grand nombre de facteurs, et Ton verrait que Von obtient la dérivée d'un produit en multipliant la dérivée de chaque fadeur par tous les autres facteurs, et additionnant les résultats.

Dérivée d'un quotient. — Soit le quotient de deux fonctions

le précédemment, u-f-io et rH-Ar les valeurs que deux termes pour la valeur H- 4x de la variable ; à nt àx correspondent pour u et t' les accroissements et pour y l'accroissement

Ax (rH-4t>)ti

ix tend vers zéro, — et — — ont des limites égales Ix àx

u' et v' ; dans le dénominateur, Ar tend vers zéro ; t que le second membre a une limite, et par suite que y i Égale à

Ivée d'an quotient — est ^ ■

S3. — Les fonctions

-3(2a-''+l)aE' — 8j-

— (~sin*3-] 1

is ainsi de nouveau la dérivée de tg x.

L'ulier, lorsque h = 1 , on a «' ^ 0 ; on en conclut que

est égale à

DÉRIVÉES DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE 151

Lorsque nous aurons déterminé les dérivées des fonctions de plusieurs variables, nous considérerons le cas général des fonctions composées.

122. Dérivée d'une fonction de fonction. — Si u est une fonction de Xy toute fonction de ii

est dite fonction de fonction de x ; nous allons calculer la dérivée de y en supposant connues les dérivées de /"(«) et de u. Soient Ax un accroissement donné à la variable x, Au et Ày les accroissements correspondants de u el y ; nous avons identiquement

A<y Ay An

Ax Ali Ax '

lorsque Ax tend vere zéro, les deux rapports du second membre ont des limites f[u) et u' ; par suite, le premier membre a une limite, et y a une dérivée égale à

La dérivée (Tune fonction de fonction est égale au produit des dérivées des fonctions dont elle se compose.

Ce résultat s'étend à un nombre quelconque de fonctions successives ; si 0 est une fonction de x, si v = cp(u) est une fonction de u, et y = f(v) une fonction de v, on voit de même que l'on a

A y A y \v Au Ax Ai; Au Ax

et Ton en conclut, en passant à la limite,

Exemples. — Soit y = e~"** ; en posant u = — x^, on a y = e" ; la dérivée est

î/' = eV = e~**(— 2x).

Soit encore y = a" ; on a vu (n** 51) que a^ = e*'<>K°; en posant u = xloga, on a y = e", d'où

y' = e«. u' = e^^^8« log a = a* log a .

lA

DÉRIVÉES ET DIFFËBENTIELLES

e cas d'une fonction de Tonction se présente couramment lorsque abie entre sous le signe d'une Tonirlion simple par un de ses mul- )u de ses sous-multiples ou plus généralement par une expression e ; on prend alors cette expression pour valeur de u . On se se même d écrire la lettre u , et l'on Tait immédiatement le calcul lé rivée.

xemples: i/ — sinnw-, i/' = ni cosmx;