CHAPITRE II

VARIATION DES FONCTIONS D UNE VARIABLE

124. Fonction croissante ou décroissante. — On dit qu'une fonction est croissante dans un intervalle si elle va toujours en augmentant lorsque la variable va en augmentant dans cet intervalle. On reconnaît qu'une fonction f{x) est croissante à ce que, a et 6 étant deux valeurs quelconques de x comprises dans l'intervalle, f(b) est plus grand que f{a) si b est plus grand que a, ou, d'une manière plus générale, à ce que la différence f{b) — f(a) a toujours le signe de la différence 6 — a, et n'est pas nulle.

On dit qu'une fonction est décroissante dans un intervalle si elle va toujours en diminuant lorsque la variable va en augmentant dans cet intervalle. On reconnaît qu'une fonction f{x) est décroissante à ce que a et 6 étant deux valeurs quelconques de x comprises dans l'intervalle, f{b) est plus petit que f{a) si 6 est plus grand que a, ou, d'une manière plus générale, à ce que la différence f{b) — f{a) a toujours le signe contraire à celui de b — a, et n'est pas nulle.

125. Maximum ou minimum. — On dit qu'une fonction f{x) définie dans un certain intervalle passe par un maximum pour une valeur x = a de la variable si sa valeur pour x=^ a est supérieure aux valeurs voisines. On le reconnaît à ce que l'on peut trouver un nombre positif h tel que pour toute valeur b comprise dans l'intervalle donné et entre a — h et a-h/i, f{b) soit inférieur à f{a).

Lorsque la fonction f(x) est croissante entre a — h et a, et

154 DÉniVÉKS ET DllTÉREXTIELLES

décroissante entre a et a -h h, on peut affirmer qu'elle passe par un maximum pour x=^a, car f{a) est supérieur aux autres valeurs que prend f{x) entre a — h et a -h h.

On dit qu'une fonction f[x) définie dans un certain intervalle passe par un minimum pour une valeur x = a de la variable si sa valeur pour x = a est inférieure aux valeurs voisines. On le reconnaît à ce que l'on peut trouver un nombre positif h tel que pour toute valeur 6 comprise dans l'intervalle donné et entre a — h et a-}- h, f[b) soit supérieur à f[a) . Lorsque la fonction f{x) est décroissante entre a — h et a, et croissante entre a et a -h h, on peut affirmer qu'elle passe par un minimum pour x = rt, car /"(«) estinférieur aux autres valeurs que prend f{x) entre a — h et a-\-h.

Nous ne considérerons d'abord que des intervalles tels que les fonctions que nous étudions soient continues et aient une dérivée bien déterminée pour toute valeur de la variable comprise dans ces intervalles, sauf peut-être pour Tune ou l'autre des limites ; nous étendrons ensuite à des intervalles plus généraux les résultats que nous obtiendrons.

126. Théorème I . — Si une fonction est constante dans un intervalle, sa dérivée est nulle pour toute valeur de la variable comprise dans cet intervalle.

Si une fonction est croissante dans un intervalle, sa dérivée est positive ou nulle, mais jamais négative pour toute valeur de la variable comprise dans cet intervalle.

Si une fonction est décroissante dans un intervalle, sa dérivée est négative ou nulle, mais jamais positive pour toute valeur de la variable comprise dans cet intervalle.

Soient en effet a et 6 deux valeurs quelconques de x dans l'intervalle considéré ; formons la différence f{b) — f{ct), puis le rapport

et cherchons la limite de ce rapport lorsque 6 tend vers a ; c'est la valeur de la dérivée f'{x) pour x = a.

Si la fonction est constante, f{b) est toujours égal à /(a), le rapport (1) est nul, et sa limite est toujours nulle.

VARIATION DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE 153

Si la fonction est croissante, le rapport (1) est positif (n'* 124) et sa limite est positive ou nulle, mais jamais négative. De même, si la fonction est décroissante, le rapport (1) est négatif et sa limite est négative ou nulle^ mais jamais positive; la proposition est ainsi démontrée.

127. Théorème II. — Si une fonction continue et possédant une dérivée déterminée dans un intervalle passe par un maximum ou un minimum pour une valeur de la variable comprise dans cet intervalle et différente de Vune des limites, sa dérivée s'annule pour cette valeur de la variable.

Supposons que la fonction f{x) passe par un maximum pour une valeur x = a intérieure à Tintervalle que Ton considère ; il existe alors, comme nous Tavons dit, un intervalle (a — h, a -h h) renfermé dans le précédent, et tel que pour tout nombre b de ce dernier intervalle, f{b) soit inférieur à f{a). Formons encore la différence f{b) — f{a) et le rapport (1 ).

Supposons que Ton donne d'abord à b des valeurs inférieures à a et tendant vers a ; le numérateur et le dénominateur du rapport (1) sont négatifs, et ce rapport est positif; sa limite est donc positive ou nulle.

Si Ton donne maintenant à b des valeurs supérieures à a et tendant vers a, le numérateur du rapport (1) est négatif, le dénominateur positif, et ce rapport est négatif; sa limite est donc négative ou nulle.

Mais par hypothèse, la limite du rapport (1) est bien déterminée, et elle a par suite la même valeur dans les deux cas ; elle ne peut donc être que nulle. On ferait un raisonnement analogue si f{x) passait par un minimum pour x = a .

128. La réciproque du théorème I repose sur un théorème fondamental, que Ton appelle théorème des accroissements finis, et qui a pour but d'évaluer la valeur du rapport (1) au moyen de la dérivée de la fonction f{x); nous commencerons par démontrer le lemme suivant:

Lemme. — Si une fonction f[x) est continue et admet une

fe pour toutes les valeurs de x comprises entre

et b, et si elle s'annule pour ces deux nombres,

le au moins pour une valeur de x comprise entre

fonction est constamment nulle entre a et 6, sa pour toute valeur de x comprise entre ces deux ne 1). Si la fonction n'est pas constamment nulle, elle ■X b des valeurs positives ou négatives; supposons ies que certaines des valeurs qu'elle prend soient i rhypothcse faite que /"(x) est continue, la plus eurs, que nous désignerons par M, reste finie; M maximum de la fonction, et celle-ci passe par ce ne certaine valeur c de la variable comprise entre égale à ces limites. D'après le théorème II, la demie alors pour x^=c, ce qui démontre la proposition . nent serait le même si l'on considérait le cas où aleurs négatives; la fonction passerait par un miniis qu'il n'est pas nécessaire de supposer dans ce qui rivée f(x) reste finie pour i = o ou x = 6,

me des accrolsa«nient8 Unis. <— Si une fonction p^x) dmet une dérivée déterminée pour toutes les valeurs ! entre deux nombres a et b, on a

bre compris entre a et b.

ir P la valeur du premier membre de l'équation pré-

ifait à la relation

iction auxiliaire

FW = /-(S)-/I^)-(6-x)P,

uçant dans le premier membre de l'égalité qui préans f{a] et dans b — a, mais non dans P; V{x')

VARIATION DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE 157

s'annule pour a; = a d'après cette égalité, et pour x = b identiquement ; elle jouit, en même temps que f{x), de la propriété d'être continue et d'avoir une dérivée déterminée pour toute valeur de x entre a et b ; par suite, d'après le lemme du n° précédent, sa dérivée s'annule au moins pour une valeur telle que c comprise entre a et fc . Comme on a

on obtient, en écrivant que F'{c) est nul, la relation

ce qui démontre le théorème.

On donne souvent à l'équation (2) une autre forme que nous allons indiquer, bien qu'elle ne nous soit pas utile actuellement. Si Ton remplace a par x, et 6 ] par x-hh, b — a est égal à A; quant au nombre c, qui est compris entre x et x-h A, il peut être écrit sous la forme x-f-ôA, 6 étant compris entre 0 et 1 ; avec ces changements, Téquation (2) devient

Nous allons maintenant démontrer les théorèmes suivants, d'où découlera la réciproque du théorème I.

130. Théorème III. — Si une fonction continue a une dérivée constamment nulle dans un intervalle, elle est constante dans cet intervalle. •

Si une fonction continue a une dérivée bien déterminée et constamment positive dans un intervalle, sauf peut-être aux limites, où elle peut être nulle ou non déterminée, cette fonction est croissante dans cet intervalle.

Si une fonction continue a une dérivée bien déterminée et constamment négative dans un intervalle, sauf peut-être aux limites, où elle peut être nulle ou non déterminée, cette fonction est décroissante dans cet intervalle.

Soit f{x) la fonction donnée, « et 6 deux valeurs quelconques de x comprises dans Tintervalle considéré ou égales aux limites ; dans le cas où f'{x) est constamment nulle, la formule (2) des accroisse-

montre que l'on a toujours /{b) = f{a) et la Toncfion est

se qui démontie la première partie du théorème.

ions maintenant que f'(x) soit constamment positive dans

saur peut-être aux limites ; soient a et 6 deux valeurs s de a; comprises dans l'intervalle considéré ou égales , l'équation (2), dont le second membre f'{c) est sûrement . être nul, montre que la différence f{b) — f{a) a le signe ;t n'est pas nulle ; par suite la Tonction f{x) est croissante valle, ce qui démontre la deuxième partie du théorème ; on it de même la troisième.

isant de côté le cas d'une Tonction constante, nous avons isqu'à présent la variation d'une Tonction dans un intervalle ée est bien déterminée et non mille, sauT peut-être aux 4 résultats que nous avons obtenus s'appliquent encore, s allons le montrer, au cas d'un intervalle quelconque ou la t continue, quand bien même la dérivée serait nulle, ou

ou mal déterminée pour certaines valeurs comprises ervallc, en supposant toutefois que ces valeurs soient isolées ; autres. Soit f(x) une fonction continue dans un intervalle iposons que sa dérivée f'{x] soit déterminée dans cet interpeut-étre pour les limites et pour des valeurs isolées de x res, telles que c, d, ... . Si la fonction est croissante t b, elle l'est dans chacun des intervalles partiels limités urs précédentes, et f'{x) est positive pour toutes les va-

qui ne l'annulent pas ou ne la rendent pas discontinue, t, si f'(x) est positive pour toute valeur de x comprise

b, sauf peut-être pourles limites et pour certaines valeurs , . . , où elle est nulle ou discontinue, le théorème i 11 montre ,ion f{x) est croissante dans chacun des intervalles {a,c), . , limites comprises ; elle est donc croissante dans tout

!rions un raisonnement analogue dans le cas où f[x) est i ; nous pouvons donc énoncer le résultat général suivant, id comme cas particulier le théorème 1 et sa réciproque.

!ine IV. — La condition nécessaire et suffisante pour Uion continue soîl croissante ou décroissante dans un in-

VARIATION DES FONCTIONS D*UNE VARIABLE 159

lervalle est que sa dérivée soit toujours positive ou toujours négative dans cet intervalle, sauf peut-être pour un certain nombre de valeurs isolées de la variable pour lesquelles cette dérivée est nulle ou n'a pas de valeur déterminée, •

131. — Nous avons vu (Théorème II) que si une fonction f{x) passe par un maximum ou un minimum pour x^a, et possède une dérivée f{x) bien déterminée, cette dérivée doit être nulle pour cette valeur de x. La réciproque n'est pas toujours vraie ; nous venons de voir en effet, que si f'{x) s'annule pour x = a, tout en restant par exemple positive entre a — h et a, ainsi qu'entre a et a-f-A, la fonction f{x) est croissante dans Tun et dans l'autre des intervalles précédents, et ne devient pas maximum ou minimum pour x = a.

D'autre part il peut exister des valeurs de x pour lesquelles la dérivée n'a pas une valeur déterminée et devient par exemple infinie, tandis que la fonction reste continue et passe par un maximum ou un minimum. Nous allons indiquer d'une manière précise comment on détermine les maxima et les mini ma d'une fonction continue ; nous supposerons toutefois, ce qui a toujours lieu dans les applications usuelles, que la dérivée ne change de signe qu'un nombre fini de fois dans tout intervalle limité.

Supposons que f{x) passe par un maximum pour x = a] sans faire aucune hypothèse sur la valeur de la dérivée f'{x) pour x = a , on peut cependant trouver un nombre positif h tel que, entre a — A et a, cette dérivée garde le même signe, ainsi qu'entre a et a -h h. Nous sommes certains, d'après le théorème IV, que dans l'un ainsi que dans Tautre de ces intervalles, la fonction varie dans le même sens ; comme, par hypothèse, f{a) est supérieur aux valeurs voisines, la fonction est sûrement croissante dans le premier de ces intervalles et la dérivée est positive pour toute valeur de x entre a — h et a, si elle est déterminée et non nulle; pour la même raison, la fonction est décroissante dans le deuxième intervalle et la dérivée est négative pour toute valeur de x entre a et a -h h, si elle est déterminée et non nulle. Ainsi donc, lorsque f{x) passe par un maximum pour x = a, la dérivée est positive dans le premier intervalle {a — h, a) et négative dans le second {a, a -h A).

Ces conditions sont suffisantes, car si elles sont remplies, la fonction

roUsante dans le premier intervalle (Théorème IV), et décroissante le second ; f{a) est supérieure aux valeurs voisines, par consét f{x) passe par un maximum pour a; = a . On verrait de même que si f{.c) passe par un minimum pour 3, il existe un nombre positif h tel que entre a — h et a la ion soit décroissante et la dérivée négative, et que entre a et h la fonction soit croissante et la dérivée positive, et ces conditions suffisantes. On énonce ordinairement ces résultats d'une manière ;ée de la façon suivante :

rhéorème V. — La condition nécessaire et suffiianlepoar qu'âne '.ion continue passe par an maximum poar une valeur de x est >a dérivée passe du positif au négatif lorsque x passe en croispar la valeur considérée. La condition nécessaire et suffisante qu'elle passe par un minimum pour une valeur de x est que Privée passe du négatif au positif lorsque x passe en croissant '.a valeur considérée.

132. Étude de la vnrlallon d'une loncllon. — Etudier la variation i fonction, c'est chercher les intervalles dans lesquelles elle est ', et continue, et constamment croissante ou constamment décrois- :, c'est indiquer dans ces intervalles le sens de la variation de la ion, et de plus, déterminer ses valeurs remarquables, en particulier laxima et ses minima.

On commence par chercher les valeurs de la variable x pour lèses la fonction est réelle, et on les sépare, s'il y a lieu, en interi dans lesquels elle reste continue. On forme ensuite la dérivée, n détermine les valeurs de la variable pour lesquelles elle change gne; ces valeurs se trouvent parmi celles qui la rendent nulle ou ntinue. On est ainsi amené à chercher toutes les valeurs de x mnulent la dérivée et celles pour lesquelles elle est infmie ou ntinue; on les range par ordre de grandeur croissante, et l'on :he le signe de la dérivée dans les intervalles successifs limités :es valeurs; si elle est positive, la fonction est croissante; si elle égative, la fonction est décroissante.

3i la dérivée a le même signe dans deux intervalles successifs, action varie dans le même sens dans les deux intervalles et ne

VARIATION DES FONCTIONS D UNE VARIABLE

passe ni par un maximum ni par un minimum pour la valeur de x qui les sépare ; on peut ne pas tenir compte de cette valeur de la variable. Si, au contraire, la dérivée change de signe lorsque x passe en croissant par la limite d'un de ces intei*valles, la fonction passe par un maximum ou un minimum pour cette valeur de la variable: un maximum si la dérivée passe du positif au négatif, un minimum dans le cas contraire.

On conserve ainsi les valeurs de x pour lesquelles la fonction cesse d'être continue et celles pour lesquelles la dérivée change de signe; on les range dans un tableau par ordre de grandeur croissante, et Ton indique dans chaque intervalle le signe de la dérivée et le sens de la variation de la fonction ; on calcule enfin les valeurs des maxima et des minima; plus généralement on indique les valeurs de la fonction pour les limites des intervalles conservés et, s'il y a lieu, pour d'autres valeurs remarquables de la variable. Nous allons appliquer ces considérations à quelques exemples:

133. Premier exemple. — Considérons le trinôme du second degré

y = ax^ -f- 6x -f- c ;

c'estune fonction réelle et continue pour toute valeur de x; sa dérivée est

y' = 2axH-6;

elle s'annule en changeant de signe pour la valeur Xi = — — — •

nous considérerons donc les deux intervalles ( — oo , Xi), \^Xi, H-oo ). Si a est positif, la dérivée y' est négative dans le premier intervalle et la fonction est décroissante; dans le second, y' est positive et la fonction est croissante; y passe alors par un minimum pour

;r = X|, et la valeur de ce minimum est yi = — r ; la courbe

représentative de la variation de la fonction est une parabole, comme l'indique la figure 4i.

VoGT. — Math. sup. 11

162 DIÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES

Si a est négatif, les conclusions sont inverses; dans le premier

intervalle, la dérivée y' est positive et la fonction est crois»

santé ; dans le second, y' est négative et la fonction est décroissante ; pour X, j la fonction passe par un maximum dont la valeur est y^ ; la courbe de variation est celle de la figure 42.

La tangente à la courbe au point [xx, yi) correspondant an maximum ou au minimum a, d'après le théorème du n° 413,

Fig. 42.

un coefficient angulaire nul et est parallèle à Ox,