Développement d'un déterminant. — Le calcul d'un dé ter

ÉQUATIONS LINÉAIRES A DEUX INCONNUES. DÉTERMINANTS

minant du troisième ordre tel que (8) se ramène à celui de plusieurs déterminants du second ordre ; en se servant de la valeur (9) du déterminant D on vérifie que cette valeur est égale à celle de chacune des lignes suivantes :

-hc

-f-fc'

-hc"

-ha'

-hb'

Chacune renferme les produits des éléments successifs soit d'une ligne, soit d'une colonne du déterminant D par certains déterminants du second ordre que Ton appelle déterminants mineurs; en écrivant Tune de ces sommes, on dit que Ton effectue le développement du déterminant d'après les éléments d'une ligne ou d'une colonne et ce développement est soumis à la règle suivante qui renferme tous les cas :

Règle. — Pour développer un déterminant suivant les cléments d'une ligne ou d'une colonne, on considère successivement chacun des éléments de celte ligne ou de cette colonne, et on le multiplie par un déterminant d'ordre moindre que l'on déduit du déterminant donné en supprimant la ligne et la colonne qui se croisent sur l'élément considéré.

On compte ensuite à partir du premier élément en haut et à

COMPLÉMENTS d' ALGÈBRE

gauche du déterminant primitif alternativement -\- et — sur les éléments successifs des lignes et des colonnes que Von doit suivre jusqu'à ce qu^on aboutisse à Vêlement considéré, et Von affecte le produit du signe énoncé en dernier lieu. La somme algébrique des produits ainsi composés est la valeur du déterminant donné.

8. Propriétés d'un déterminant. — En se servant de la valeur (9) du déterminant D ou des développements du n° précédent, on aperçoit les prop:iétés suivantes d'un déterminant;

1° Si les lignes d'un déterminant sont f(>rmées des mêmCvS éléments que les colonnes d'nn autre, et dans le même ordre, ces deux déterminants sont égaux, c'est-à-dire que Ton a

2° En intervertissant denv lignes ou denx colonnes élément à élément, on change le signe d'un déterminant.

3*^ Un déterminant qui a deux lignes ou deux colonnes identiques est nul ; par exemple le déterminant

abc

est nul, car si on le développe suivant les éléments de la première ligne, les mineurs qui sont les cocflicients de a, b, c, sont tous les trois nuls.

4° Si Ton multiplie ou si l'on divise tous les éléments d'une même ligne ou d'une même colonne par un même nombre, le déterminant est multiplié ou divisé par ce nombre ; on a

ma

ma

ma

car le développement du premier membre suivant les éléments de la première colonne est

ÉQUATIONS LINÉAIRES A DEUX INCONNUES. DÉÏEBMINANTS 9

maib'c" — c'b') — nia'ibc' ~ cb") -h ma\bc' — cb')

et est égal au produit de m par le déterminant qui entre au second membre.

5^* Si Ton décompose en deux parties les éléments d'une ligne ou d'une colonne d'un déterminant, on peut le remplacer par la somme de deux autres déterminants. On a par exemple

il suffît en effet de comparer les développements des déterminants entrant dans les deux membres suivant les éléments de la première colonne pour vérifier cette égalité.

6° Si Ton ajoute aux éléments d'une ligne ou d'une colonne d'im déterminant les éléments correspondants d'une ligne ou d'une colonne parallèle, après les avoir multipliés par un même facteur, on forme un déterminant ayant même valeur que le premier. On a par exemple

Ol

Ol

mb mb'

Le premier membre peut en effet se mettre sous la forme dune somme de deux déterminants dont l'un est le déterminant du second membre ; et dont l'autre est

mi

mb' // c'

mb' // c'

d'après la quatrième propriélé, il est le produit par m d'un déterminant dont les premières colonnes sont identiques et il est nul (3°).

9. Ces propriétés permettent de simplifier le calcul d'un déterminant. Soit à calculer, par exemple, la valeur du déterminant

COMPLÉMENTS d'aLGÈBRE

retranchons des éléments de la seconde ligne ceux de la première multipliés par 2, et des éléments de la dernière ceux de la première multipliés par 3 ; nous obtenons un déterminant ayant même valeur que le premier, et égal à

en développant ce dernier suivant les éléments de la première colonne, il ne reste qu'un seul produit, celui de 1 par le mineur

dont la valeur est 6 — 4 = 2 ; 2 est la valeur cherchée.

10. En employant la notation des déterminants, nous pouvons énoncer de la façon suivante le résultat du n° 5 :

La condition nécessaire pour que trois équations linéaires à deux inconnues soient compatibles est que le déterminant formé par les coefficients des inconnues et les termes connus soit nul.

Cette condition n'est pas toujours suffisante. Il résulte cependant des raisonnements du n° 5 qu'elle Test dès que deux des équations ont une solution unique, et c'est la solution commune aux trois équations.