Forme — • — Si pour une valeur a de x les deux termes

fix) d'une fraction -^-^ deviennent simultanément nuls ou simultanément

infinis, on dit que la fraction prend une forme indéterminée; elle n'a aucun sens précis pour x = a, mais si les valeurs de cette fraction pour des valeurs de x voisines de a ont une limite quand x tend vers a, on dit que cette limite est la vraie valeur de la fraction pour X = a.

Nous allons d'abord considérer le cas où les deux termes de la fraction deviennent nuls pour x = a ; donngns à x unç valeur voisine a -h h, et supposons la formule de Taylor applicable aux deux fonctions f{x) et ^(x); nous aurons, puisque f{a) et cp(a) sont nuls,

+ -,—r— ^— r ^^'^'Ha -f- O'A).,

i.2 . . . {n-hi\ ^ ' ^

n étant laissé arbitraire, ô et 6' étant compris entre 0 et i.

Si les dérivées premières f'[a) et (p'(a) ne sont pas toutes les deux nulles, on voit que le quotient ^ ^ a la forme ' ,, l r^, et

que sa limite pour A = 0 est égale au quotient des dérivées \) ! -

Si les deux dérivées sont nulles pour x^a, et si l'on suppose, pour se placer dans le cas général, que les premières dérivées qui ne sont pas nulles simultanément sont dordre n, le quotient

L\ =4- a la forme ' , }, { ^-^r- et sa limite pour ^ = 0 est égale

fi'') (a) au quotient -—-tt-t <ies dérivées d'ordre n. On voit ainsi que» la

vraie valeur d'une fraction qui pour x = a prend la forme — est

égale à la valeur que prend, pour x = a, le quotient des premières dérivées de même ordre des deux termes non nulles simultanément.

jJ» /jw Q

Exemple, — La fraction prend pour a; =^ a la forme — ;

le quotient des premières dérivées mx"*""* et pxP~^ prend pour

x = a la valeur — a'"""''; c'est la vraie valeur de la fraction ; la divi-

P sion des deux termes par x — a aurait conduit au même résultat, mais

moins rapidement.

140. Règle de mopital. — On remplace souvent la règle que nous venons d'énoncer par une autre, connue sous le nom de règle de

l'Hôpital, qui s'énonce ainsi : La vraie valeur d'un quotient ' ; ; qui prend une forme indéterminée est la même que la vraie valeur du

quotient des dérivées \) [ .

Cette règle peut être utilisée lorsque la formule de Taylor n'est pas applicable aux fonctions f{x) et cp(x), et aussi lorsque f{x) et çp(x) deviennent simultanément infinis ; nous allons la démontrer

lorsque la fraction prend pour x = a la forme — •

La démonstration repose sur une formule analogue à celle des accroissements finis (n° 129) ; si f{x) et (p(x) sont deux fonctions continues et ayant des dérivées déterminées dans un intervalle {a, 6), nous allons montrer que Ton a

c étant un nombre compris entre a et 6 .

Désignons en effet par P la valeur du premier membre de Féquation (1); il satisfait à la relation

désignons par F{x) la fonction auxiliaire obtenue en remplaçant dans le premier membre de cette identité a par x^ sauf dans P qui reste par définition dépendant de a et 6; nous aurons

D'après les hypothèses faites sur f{x) et (p(a:), ¥{x) est une fonction continue et a une dérivée déterminée dans l'intervalle (a, 6); elle s'annule pour x = a d'après l'équation (2) et pour x = b identiquement; d'après le lemme du n** 128, sa dérivée s'annule pour une valeur x = c comprise entre a et é; comme on a

F'{x)==-f'{x)-hP^'{x),

on obtient, en écrivant que F'(c) est nul,

ce qui démontre la proposition.

La règle de l'Hôpital s'en déduit immédiatement; si J-j-l- prend

la forme — pour x = a, sa vraie valeur est par définition la limite du

rapport J-jA lorsque b s'approche indéfiniment de a ; comme f{a)

?W flb) — fia)

et a(a) sont nuls, ce rapport peut être remplacé par -^4tt — -i-4- ' et

(p(6) — cp(a)

il est égal au second membre de la relation (1); comme c se rapproche

de a en même temps que b, la limite cherchée est la même que

f'(x) celle du rapport ' ) : quand x tend vers a, en supposant toutefois

que le dernier rapport ait une limite ; la règle de l'ilopital se trouve ainsi démontrée.

Elle permet de retrouver le résultat du n° précédent; en effet, si les deux dérivées f'{x) et çp'(a:) sont continues et ne sont pas simul-

tanément nulles pour x = a, le quotient de ces dérivées lorsque œ

tend vers a a une limite égale à ' ,) ; ; ce dernier rapport est donc

la vraie valeur du quotient

fournie par la règle de THopital ;

c'est aussi la vraie valeur fournie parla règle énoncée dans le n** précédent. Si f\x) et <î>'(x) sont nulles pour x=za, la règle de T Hôpital ne

donne pas immédiatement la vraie valeur de

car le quotient des

dérivées se présente lui-même pour x = a sous une forme indéterminée, mais on obtient la vraie valeur de ce dernier quotient en lui appliquant de nouveau la règle de T Hôpital, c'est-à-dire en prenant la limite du rapport des dérivées de f\x) et ^'{x). Eh continuant de cette façon, on est amené à prendre le rapport des premières dérivées de f{x) et 9(x) qui ne sont pas nulles en même temps pour x = a: c'est précisément le résultat fourni par la règle du n? précédent.

141. Forme -^- — Supposons que les deux termes de la fraction

cp(x)

deviennent infinis pour x = a; nous allons démontrer que

l'on obtient sa vraie valeur, si elle existe, en appliquant la règle de l'Hôpital, c'est-à-dire en cherchant la vraie valeur du quotient des

dérivées ' ,) l •

Supposons d'abord que la vraie valeur du quotient de f{x) par. c^{x) soit un nombre / qui n'est ni nul ni infini; remplaçons ce quotient par le suivant, qui lui est égal :

cette fois les deux termes deviennent nuls, et l'on peut appliquer la règle démontrée dans le n° précédent; d'après cette régie, la vraie valeur l est égale à celle du quotient des dérivées; ce quotient est

FORMES INDÉTEBMIKÉES

nous avons donc, en donnant à x une valeur a -h h, et faisant tendre h vers zéro,

Le premier terme du second membre est égal à l^ ; le second

f(x\ terme est Tinverse de lim ' ,, ; ; nous avons par suite

ou bien, puisque / n*est ni nui ni infini,

ceci nous montre bien que la vraie valeur du rapport des dérivées est égale à la vraie valeur / du rapport des fonctions données.

Le raisonnement précédent ne s'applique plus lorsque / est nul ou infini ; on tourne alors la difficulté de la façon suivante.

Si / est nul, on considère à la place du rapport

auxiliaire

le rapport

dont la vraie valeur /' est égale à /-f- i ou à 1 et n'est pas nulle ; on peut lui appliquer le raisonnement précédent, et Ton a

(p(xj fjf'{x)

on en déduit, en retranchant 1 aux deux membres.

et la règle s'applique encore dans ce cas.

Si / est infini, on considère à la place du rapport

verse

son m-

qui a zéro pour vraie valeur ; d'après ce qui précède, le

rapport des dérivées 11,^"'^ aura aussi pour vraie valeur zéro, et son

f'ix) f(x]

inverse ' ,) ( deviendra infini comme ' ; { ; la règle est donc encore

applicable.

Exemple. — Soit la fraction ^7 qui, pour x = —^ prend

la forme — =- ; le rapport des dérivées est

1 1 cos^a: .

1t COS^ X TZ