TC

il prend cette fois la valeur ~ pour x = — • Le rapport des dérivées

, , . . — 2 sin 07 cos a; . ., . , tt

des deux termes est , et il est nul pour a; = — ; on

en conclut que la vraie valeur de la fraction donnée est nulle.

142. Cas où la variable est infinie. — Nous allons montrer que la règle de THopital s'étend encore au cas où x augmente indéfiniment,

et où les deux termes de la fraction deviennent nuls ou infinis. Si

nous posons a; = — , nous avons

et nous avons à chercher la vraie valeur du dernier rapport pour X = 0 ; nous pouvons lui appliquer la règle de THopital pour cette valeur de X ; la vraie valeur cherchée est la même que celle du rapport des dérivées ; celui-ci est

Sa vraie valeur pour X r= 0 est la même que celle du rapport

f'{x) ,. ' pour X infini ; nous voyons donc que la règle de THopital est

encore applicable dans ce cas.

Exemple, — Soit le rapport — qui, pour x infini, prend la forme

^; le rapport des dérivées est —, et il devient nul pour x infini;

il en est de même du premier rapport. On démontre de la même manière en appliquant plusieurs fois successivement la règle de THôpital,

<\ue la vraie valeur du rapport — pour x infini est égale à zéro.

143. Autres formes indéterminées. — Lorsqu'un produit f{x] . (^{x) prend pour une valeur finie ou infinie de x la forme 0 x oo , on le remplace par Tun des rapports