CHAPITRE V

144. Séries entières. — On a souvent à considérer une fonction représentée par une série telle que

y z=rr. u^(x} -h Ui(x) H- . . . -f- ujx -}-...,

dont les termes sont des fonctions simples de x, par exemple,

y ^:—- \ -h X -{ x^ -h • • • -h a-"-' -f- . . . , sin X sin 2j: . sin ^x ' , sin nx

U rr= . . . -f- i ...

une telle série ne peut servir k définir et à calculer la fonction que pour les valeurs de x où elle est convergente.

Le cas le plus simple est celui d'une série de la forme

' t ) y -- cTo -h a^x 4- dix'^ -+-•••-!- flr„iJ*"-* -\- n^x" -h • • • ,

ordonnée suivant les puissances entières et positives de la variable, et que l'on appelle série entière ; la première de celles que nous avons données comme exemple est une série entière. Une telle série jouit de propriétés simples, qui sont la généralisation des propriétés des pol}^nonies. Une propriété fondamentale d'une série entière est la suivante :

Théorème. — Si les termes iVune série entière restent finis pour x~ J-,,, cette série est convergente pour toutes les valeurs de jc dont le module est inférieur h celui de Xq.

Supposons que pour x = Xq les termes de la série (1) restent en valeur absolue inférieurs à un nombre M, c'est-à-dire que Ton ait pour toute valeur de n

anXa" I < M ,

M étant un nombre fixe; considérons une valeur de x dont le module est inférieur à celui de Xq, et écrivons la série (1) sous la forme

ix\

(2) jy :=ao-hcriJro(^^)-f-a2J7oM — 1 -H

H-a„Xo''^y-) H-

les modules de ses ternies sont inférieurs aux termes correspondants de la somme

Xa

Xq

qui est une progression géométrique décroissante ; la série des modules des termes de (2) est dès lors convergente [n^ 33), et celte série l'est aussi (n° 38).

Exemple. — Les termes de la série

restent finis pour x = 1 ; cette série est alors convergente pour toute valeur de x dont le module est plus petit que 1 , c'est-à-dire intérieure à rintervalle ( — 1 , -h 1) ; on peut ajouter qu'elle est convergente pour x = -h 1 , divergente pour x = — 1 , et divergente également pour I X I > 1 .

La série

qui sert de définition à e* est, comme nous l'avons vu, convergente pour toute valeur de x.

Nous laissons pour une note placée à la fin du volume la démonstration de cette propriété que pour les valeurs de x dont le module est inférieur à celui de Xq, la série 1 1, représente une fonction continue de X, et que sa dérivée est égale à la série formée par les dérivées de ses termes successifs.

ut

145. Procédés de développement en séries. — On obtient la valeur d'une série entière telle que (1) pour une valeur de x la rendant convergente en appliquant les règles de calcul que nous avons données (n^* 37 et 40) pour les séries numériques convergentes; on obtient souvent avec un petit nombre de termes une valeur numérique suffisamment approchée de la fonction. H y a par suite intérêt à remplacer une fonction donnée par une série entière, souvent plus commode pour le calcul numérique.

Lorsqu'il s'agit d'une fraction rationnelle, le procédé le plus simple pour la développer en série consiste à effectuer la division du numérateur par le dénominateur; c'est ainsi que l'on a

= i -+- X -h iC^ -h

le second membre étant convergent pour x inférieur à 1 en valeur absolue. De la même manière, on a pour x très petit

bx

^i-^x-^(^-xX^C-x\

et il suffit souvent de garder les deux premiers termes de la série du second membre pour avoir une valeur suffisamment approchée de la fraction donnée.

146. Série de Maclaurin. — Un procédé souvent employé pour développer en série une fonction quelconque consiste à appliquer la formule de Maclaurin (n** 137), qui est

(3) fu)=fm^^f'[Ç))-^^r[çs)