n-hl
/■("-^'VOx).
Les premiers termes, composant S„, sont le commencement d'une série indéfinie
(4) 3,=/•(0)+■^/•'^o)+-j^AOJ+ • • • +T72-^^/''"H<')+ • • •'
dont la loi de succession des termes est évidente, et qu'on appelle série de Maclaurin.
Théorème. — La série de Maclaurin est convergente et a pour somme f(x) pour toutes les valeurs de x telles que le terme complémentaire tende vers zéro lorsque n augmente indéfiniment.
Écrivons en efl'et que l'on a, d'après la formule (3),
OU bien
si X a une valeur telle que le terme R a pour limite zéro quand n augmente indéfiniment, f{x) — S„ a pour limite zéro, et S„ a pour limite f{x) ; ceci montre que la somme des premiers termes de la série y a une limite lorsque le nombre de ces termes augmente indéfiniment, et que cette limite est f{x) ; en d'autres termes que la série y est convergente et a pour somme f{x) , ce qu'il fallait démontrer.
Remarque. — Dans les applications, on commence par chercher pour quelles valeurs de x la série y est convergente, on cherche ensuite pour quelles valeurs le terme complémentaire tend vers zéro.
Si Ton veut appliquer le développement en série de Maclaurin au calcul numérique d'une fonction, la formule (3j est préférable à la série (4), car cette formule donne la valeur du reste de la série lorsqu'on s'arrête au terme en x", et Ton peut en déduire une limite de Terreur commise.
147. Développement de e*, sinx, cosx. — Nous connaissons (n* 44) le développement en série de e^; nous allons montrer, comme exercice, qu'il peut être retrouvé en partant de la formule de Maclaurin. La fonction et ses dérivées successives sont égales h e* iii° 115) et
toutes ces quantités deviennent égales à l'unité pour a? = 0; la formule de Maelaurin donne ainsi
/y» ■y* t»^ /vM "♦■ 1
gx^l-H^-h-î-H- ... -4--—^^ h—- — ~ -e^';
quel que soit x, la série correspondante est convergente ; le terme complémentaire est le produit d'un terme de cette série par e'* qui reste fini ; comme le terme général de la série tend vers zéro quand n augmente indéfiniment, il en est de même du terme complémentaire R quel que soit x; par conséquent c* est représenté pour toute valeur de X par la série de Maelaurin et Ton a bien
Nous avons calculé au n° 138 les dérivées successives de sina; et cosx; elles deviennent successivement 1, 0, — 1, 0, ... pour x=^0, et la formule de Maelaurin donne
SID X = ■ • ■• ± cos 6x,
. . . ziz cosôj:;
les séries correspondant à ces formules sont convergentes, comme la série e'', pour toute valeur de x, et les termes complémentaires tendent aussi vers zéro; les deux fonctions sont donc représentées par les séries de Maelaurin pour toute valeur de x, et Ton a
Sm J ^ -: : — r-^r H-
cos j:= 1
148. Développement de (1 -f-x)'" — La formule du binôme donne le développement de cette puissance lorsque m est un nombre entier positif ; nous allons considérer le cas général où m est quelconque, positif ou négatif. En général, (1 -hx)'" n'est réel que si x est
supérieur à — 1 ; c'est ce 'qui a lieu par exemple pour la fonction
(1-hx)* = v/(l -h x)' qui n'est réelle que si 1-i-x est positif, ou X supérieur à — 1 .
La fonction fix) = (i-i-j-)'" et ses dérivées successives ont pour valeurs
f{x) = {\~hx)'^, f'{x)^m{\-hxr-\ fix) ^ m{ni — I ;.i l -f- xr-'\
/•(«>(x) = m(ni — 1) ... (m — /i -}- l )(1 -f-x)'"-", f^'*'^*Hx]^m{m — 1) . . . (m — /n'I -f-x)'""
en faisant x=:0 dans les premières égalités, jusqu'à la dérivée n% on doit remplacer aux seconds membres 1-hx par i ; dans la (iiH-l,' on doit remplacer l -h j par l-h6x; en substituant les valeurs trouvées dans la formule de Maclaurin, elle donne
,. „ j . 'W , mim — 1) ., mi m — Il ... (m — n-f-1) „ [i-+-jrr^l-hjx-h '^^ 'xM \ ^ 2 n '
mim — 1^ . . . im — n) „^,/. , „ « i H ^-— -^ — - - - x"-^'(l -f- 6,1')'"-"-*.
A • *ri • • ■ \ f f 1 M j
La série correspondante est convergente lorsque le module de x est inférieur à l'unité ; si l'on considère en eflet la série des modules des termes, le rapport d'un terme au précédent est
et a pour limite | x | pour n infini ; par conséquent si | x | est plus petit que 1 , la série des modules est convergente, et il en est de même delà série considérée.
Je vais montrer que, dans ces conditions, le terme complémentaire R tend vers zéro ; si x est positif, R est égal au produit de deux facteurs ; l'un est
mim — {]__. . . m — u] T. 2 .T. (n-hl)
^-rw
et l'autre est
(1 -h ex)'"-"-»
ou
(1 + ôx)"-^'-'" '
lorsque n augmente indéfiniment, le premier facteur tend vers zéro* car c'est le terme général de la série convergente que Ton vient d'étudier ; le second facteur reste inférieur à 1 , et leur produit tend alors vers zéro.
Lorsque x est négatif, et égal à — x'y le raisonnement précédent ne suffit plus ; nous aurons alors recours à la forme particulière du reste que nous avons mentionnée (n° 137, formule 7) ; elle nous donne
ôx)
nous l'écrirons sous la forme suivante, où x' est un nombre positiT représentant la valeur absolue de x^
« = [ """-t'I-: r ~f=^ -•■] ( ra?)"'' - "■»-■
Le premier facteur est le terme général d'une série convergente analogue à la précédente et tend vers zéro ; le deuxième facteur est inférieur à 1 et le troisième est fini, par suite R tend vers zéro.
La fonction (l-hj:)'" est donc, pour les valeurs de x comprises entre — 1 et -4- 1 , égate à la série de Maclaurin
(iH-x)'" = l
m , miin — 1) ,
m{m — 1) ... im — n-f-i) „
lorsque m est entier et positif, les termes où l'exposant de x est supérieur à m sont tous nuls, et Ton retrouve la formule du binôme ; on dit que la série précédente, dans le cas de m quelconque, est la formule générale du binôme.
Lorsque l'on a l'expression (a -\- b)"*, si a est ;> 6 en valeur
i-\ j et l'on pose — = x;
en
ï'ONXTIONS REPRÉSENTÉES PAR DES SÉRIES 18S
appliquant la formule précédente, on obtient le développement en série de l'expression donnée suivant les puissances croissantes de — . Soit, par exemple, à développer en série
yi — X-
en remplaçant dans la série qui donne le développement de (1 -4- x)"'
X par — X* et m pai* — — » on trouve
ma
V/ÏTT^ 2 2.4 2.4.6
149. Développement de log (1 -h x) et de arc tgx. — Lorsque la dérivée d'une fonction fix) est facile à mettre sous forme d'une série entière, un procédé de développement de cette fonction que nous justifierons dans le calcul intégral, est le suivant : on développe f\x) en série, et Ton forme une série dont les termes ont pour dérivées ceux de la série f\x) ; cette nouvelle série représente {[x) ou n'en diffère que par une constante additive.
Nous allons appliquer ce procédé à log (1 -+- x) ; sa dérivée est
et pour I X I <C i , elle est représentée par la série
