hx

les termes de la série

ont pour dérivées ceux de la série précédente ; la nouvelle série et la fonction log(l-l-x) ne diffèrent Tune de Tautre que par une constante ; comme elles s'annulent pour x = 0, elles sont identiques ; on en conclut que l'on a, pour toute valeur de x comprise entre — \ et -+-i,

log(l+x)=j-^

C'est cette série qui sert de base au calcul des logarithmes népériens des nombres.

Le même procédé peut être employé pour former le développement de

arctgx; sa dérivée est -; elle est représentée, pour | x | <;i,

par la série

— - — — 1— x2-hx^— ... ±:x2"

les termes de la série

13 5 2n-hi

ont pour dérivées ceux de la précédente ; la nouvelle série et la fonction arc tg X s'annulent pour x = 0 ; elles ne peuvent donc différer Tune de l'autre ; on en conclut que la valeur de arc tgx s'annulant avec X, est représentée, pour x compris entre — 1 et -h 4 , par la série

Xy.2 7.5 ^2m4-1

arcigx = --- + - ±2;rPr^ ••' =

cette série est employée pour le calcul de tt ; on a en effet — = arc tg i