CHAPITRE II
11. Résolution de trois équations linéaires à trois Inconnues. —
Considérons trois équations du premier degré à trois inconnues x, y, z, écrites sous la forme générale
( ax-hby -4-05 :=d, (1) I a'x-hb\y-hc'z = d\
[ a"x-hb'y-^c''z = d\
Nous nous proposons de remplacer ce système par un autre dont chaque équation renferme une seule inconnue.
Nous désignerons par D le déterminant des coefficients des inconnues,
abc
et par Di, D^, D3 ceux qu'on en déduit en remplaçant successivement les éléments d'une des colonnes par les termes connus correspondants, c'est-à-dire
Di =
Di —
Considérons le développement du déterminant D suivant les éléments de la première colonne (n° 7) :
12 COMPLÉMENTS d' ALGÈBRE
puis multiplions les deux membres des équations (1) respectivement par fës coefficients de a, a' et a" dans ce développement, et ajoutons membre à membre.
Le coefficient de x dans le résultat est identique à D; le coefficient de y est égal à la valeur obtenue en remplaçant dans D les éléments a, a% a" par b, b', b\ et il est nul, car ce serait le développement d'un déterminant ayant deux colonnes identiques: le coefficient de z est égal à la valeur obtenue en remplaçant de même dans D a, a\ a* par c*, c' r" et il est également nul, enfin le second membre est égal à la valeur obtenue en remplaçant dans D les éléments a y a', a^ par les termes J, d\ d\ et il est égal à D,.
Nous obtenons de cette façon l'équation
Dx = D, .
Opérons de même en développant D suivant les éléments de la seconde colonne ; multiplions les deux membres des équations respectivement par les coefficients de b, b' , b" dans ce développement, et ajoutons membre à membre ; Féquation résultante ne contiendra que y et sera
Développons en dernier lieu D suivant les éléments de la troisième colonne, et opérons comme précédemment ; nous aurons une équation qui ne contiendra plus que z et sera
Nous déduisons ainsi du système (l) un nouveau système, composé des équations
(2) Dj = Di, Dy = D,, Dz = D3 ;
nous sommes certains que toute solution du système (1) satisfait au système (2).
Différents cas peuvent se présenter suivant la valeur des coefficients.
12. 1 or Cas. D n'est pas nul. — Les équations (2) ont une seule solution exprimée par les formules
Cette solution satisfait aux équations (1). Vérifions par exemple qu'elle satisfait à la première, ou bien que Ton a, en substituant et chassant le dénominateur,
firD,-f-6D2-f-cD3 = f/D;
en développant Di, D2 et D3 suivant les éléments d, d' et d% on constate que le coefficient de d dans le premier membre est identique à D, et qiîe ceux de d' et de d" sont nuls; la vérification est ainsi faite pour la première des équations données et elle se ferait de la même manière pour les deux autres.
Le systèmip proposé a donc une solution unique, fournie par les formules (3).
Exemple. — Soit à résoudre le système d'équations
Les déterminants D, Di, D2, D3 ont respectivement pour valeur
On a par suite une seule solution, x= i^ 3/ = 2, 5 = 3.
2* Cas: D est nul; Di, D2, D» ne le sont pas' tous les trois, — Les équations (2) n'ont aucune solution ; les équations (1) ne peuvent en avoir; on dit que le système proposé est impossible.
3* Cas: D, Di, D2, D3 sont nuls. — Les équations (2) sont satii:faites pour toute valeur attribuée h x, y et 5, mais il n'en est pas toujours de même des équations données, et il est nécessaire de les considérer directement.
Supposons d'abord que tous les mineurs du déterminant D ne soient pas nuls, et que le déterminant
COMPLÉMENTS d'aLGÈBRE
par exemple soit différent de zéro.
Nous pouvons tirer des deux premières équations les valeurs de x et de y en fonction de z ; après avoir fait passer dans les seconds membres les termes contenant cette inconnue, nous aurons, d'après les formules (5) du n° 4,
d — cz
cz
Si nous transportons ces valeurs dans la troisième équation, nous vérifions qu'elle est satisfaite identiquement. Nous en concluons que les équations données ont une infinité de solutions ; on peut donner à z une valeur arbitraire ; les valeurs correspondantes de x et de y sont données par les formules (4).
Supposons maintenant que tous les mineurs du déterminant D soient nuls, mais que les coefficients des inconnues ne le soient pas tous ; par exemple, que a soit différent de zéro.
Nous pouvons résoudre la première équation par rapport à x, ce qui donne
(/ — bv — cz .
si nous transportons cette valeur dans les deux autres équations, et si nous chassons le dénominateur a qui n>st pas nul, nous avons le système d'équations suivantes par rapport à y et à z:
{ab' —ba')y-^ [ac' —ca')z = ad' — da' , [ab' — ba") y -|- [ac" — ca") z = ad" — da".
Les coefficients de y et de z sont tous nuls d'après les hypothèses faites; si donc ad' — da' et ad" — da" ne sont pas tous les deux nuls, ce système d'équations est impossible, et les équations proposées n'ont aucune solution.
Si au contraire ad' — da' et ad" ^ — da" sont tous les deux nuls, on
peut attribuer à ,t^ et z des valeurs arbitraires ; ces valeurs et celle qu'on en déduit pour x d'après l'équation (5) satisfont au système proposé ; celui-ci est donc indéterminé.
Supposons enfin que les coefficients des inconnues soient tous nuls ; si dy d'y d" ne le sont pas tous les trois, les équations proposées n'ont aucune solution ; si au contraire les termes connus sont tous nuls, elles ont une infinité de solutions, et on peut donner aux inconnues des valeurs arbitraires.
En résumé, si D n'est pas nul, le système (1) a une seule solution fournie par les formules (3) ; si D est nul, il est impossible ou indéterminé.
13. Équations homogènes. — Si les termes connus dy d', d" sont tous les trois nuls, les équations (1) sont homogènes.
Si le déterminant D n'est pas nul, elles ont une seule solution ; comme Di, D2 et D3 sont tous les trois nuls, cette solution est constituée par les valeurs x = 0, ^ = 0, 2 = 0.
Si D est nul, Di, D2, D3 le sont aussi, ainsi que les quantités telles que ad' — da' et aJ" — da" ; on en conclut, en se rapportant à ce qui précède, que les équations proposées ont une infinité de solutions, et Ton peut donner à l'une au moins des inconnues une valeur arbitraire. Il suffit en général de résoudre deux des équations données par rapport à deux des inconnues, en donnant à la troisième une valeur arbitraire.
Nous pouvons énoncer ces résultats sous la forme suivante :
La condition nécessaire et suffisanle pour que trois équations linéaires et homogènes à trois inconnues aient une solution oii toutes les inconnues ne soient pas nulles est que le déterminant des coefficients des inconnues soit nul; les équations ont alors une infinité de solutions.
14. Élimination de trois inconnues entre quatre équations linéaires. — Cherchons la condition pour que quatre équations linéaires à trois inconnues écrites sous la forme générale
ax -\~ by -h cz = d,
a''x-hb''y-hc'z=d''y
a"'x -h b'"y -hc'"z = d"
aient au moins une solution commune.
COMPLÉMENTS d'aLGËBBE
Si le déterminant D des coeriiclents des Jnconiuies dans les trois premières équations nest pas mil, elles ont une solution fournie par les formules (3) ; en écrivant qu elle satisfait à la quatrième, on obtient la condition (6} a"D, + i"Dt + c'D, = (TD.
Si D est nul, les trois premières équations ne peuvent avoir de solution que si Di, D^ et D^ le sont également; la condition précédente se trouve alors remplie.
Cette condition est donc toujours nécessaire pour que les quatre équations proposées soient compatibles; elle n'est pas toujours suffisante, mais on peut af(irm?r cependant qu'elle l'est, daprès ce qui précède, lorsque trois des équations ont une solution unique; cest alors la solution commune aux quatre équations.
15. Délermlnanldti quatrième ordre. — En faisant passer au second membre tous les termes de l'équation précédente, on obtient dans ce second membre une expression que l'on représente par la notation
et l'on appelle cette dernière expression un déterminant du quatrième ordre.
La formule qui donne la valeur d'un tel déterminant en fonction de SCS éléments contient un grand nombre de termes et ne présente aucune utilité pour le calcul numérique. On ramène ordinairement le calcul d'un déterminant du quatrième ordre à celui de plusieurs déterminants du troisième ordre, en le développant suivant les éléments d'une ligne ou d'une colonne.
La valeur du déterminant précédemment écrit est celle de la
on peut la calculer de plusieurs autres manières : on vérifie facilement que la règle donnée au n° 7 pour le calcul d'un déterminant du troisième ordre s'applique encore dans le cas actuel.
L*équation (6) est identique à celle que Ton obtiendrait en développant le déterminant du quatrième ordre précédent suivant les éléments de la dernière ligne et en annulant le résultat.
16. Généralisation. — Tout ce que nous avons dit sur les déterminants du troisième ordre et sur leur application aux équations linéaires peut être répété à propos des déterminants du quatrième ordre. On vérifierait que les propriétés énoncées au n** 8 sont encore vraies pour ces derniers.
La résolution de quatre équations linéaires à quatre inconnues repose sur le calcul de plusieurs déterminants du quatrième ordre; l'élimination de quatre inconnues entre cinq équations linéaires conduit à la considération d'un déterminant du cinquième ordre.
On peut ainsi s'élever de proche en proche jusqu'aux déterminants d'un ordre quelconque. En général un déterminant d'ordre n est une expression composée de n^ éléments disposés en carré suivant n lignes et n colonnes entre deux traits verticaux. On calcule sa valeur au moyen de déterminants d'ordre moindre en appliquant la règle du n° 7. Cette règle suffit pour démontrer que les propriétés énoncées au n° 8 s'appliquent aux déterminants d'ordre quelconque.
Nous admettrons, sans faire une démonstration qui nous entraînenerait trop loin, que les résultats que nous avons trouvés dans le cas des équations linéaires à deux et à trois inconnues s'étendent à un nombre quelconque, et nous nous contenterons de les énoncer sous la forme générale suivante :
Considérons n équations linéaires à n inconnues où les inconnues sont placées dans les premiers membres et les termes connus dans les seconds. Formons le déterminant des coefficients des inconnues et désignons-le par D.
Si D n'est pas nul, les équations ont une seule solution; les valeurs des inconnues sont exprimées par des fractions dont le dénominateur commun est D; le numérateur de chaque inconnue est un déterminant que Von déduit de D en y remplaçant les coefficients de cette inconnue par les termes connus.
VoGT. — Math. sup. 2
COMPLÉMENTS d'aLGÈBRK
Si D est nul, le système des équations est impossible ou indéterminé.
Si les équations sont homogènes ^ la condition nécessaire et suffisanté pour qu'elles aient une solution où toutes les inconnues ne sont pas nulles est que D soit nul; elles ont alors une infinité de solutions.
Pour que n -f- 1 équations linéaires à n inconnues soient compatibles, il est nécessaire que le déterminant d'ordre n-h i formé par les coefficients des inconnues et les termes connus soit nul.
