CHAPITRE VI

150. Méthodes d'Interpolation . — Lorsqu'on connaît les valeurs numériques d'une fonction f{x) pour un certain nombre de valeurs de jc, et que l'on cherche à déterminer, par un calcul simple, les valeurs exactes ou approchées de cette fonction pour les autres valeurs de la variable, on utilise un procédé de calcul que l'on appelle interpolation; on emploie l'interpolation dans deux cas principaux que nous allons exposer :

{° La fonction f{x) est donnée analytiquement, mais son calcul numérique est long et pénible pour une valeur quelconque de x ; on se contente alors de calculer exactement f{x) pour un certain nombre de valeurs de x assez rapprochées les unes des autres et on en forme des tables ; on emploie ensuite, pour les valeurs de x non comprises dans les tables, une formule simple d'interpolation ; elle donne, non pas la valeur exacte de la fonction, mais une valeur approchée qui est suffisante dans les applications.

La formule de Taylor conduit immédiatement à une formule d'interpolation ; si l'on connaît la valeur exacte de fix) et de ses dérivées pour la valeur x, celle qu'elle prend pour x~hh est donnée par

R étant le terme complémentaire ; on se limite ordinairement à la première ou à la seconde puissance de h dans le second membre, et on néglige les termes suivants lorsque h est petit. On emploie quel<iuefois

cff proi'i'uU* dans le calcul des logarithmes des nombres non compris dans les tables.

2'* La fonction f x] n*est pas donnée par une formule analytique, mais par une série d'expériences physiques; on ne connaît alors que la valeur numérique de f xj pour un nombre limité de valeurs de x tellr's que x^^Xi, ... : on ne connaît ni la forme analytique de la fonction, ni sa valeur numérique pour les autres valeurs de a*.

On considère alors une fonction analytique simple n, généralement un polynôme, et on Tassujettit à prendre les mêmes valeurs numériques que la fonction f{x) pour les valeurs x,,, Xj, ... ; on admet que dans les intervalles la fonction inconnue f{x) s'écarte peu de la nouvelle fonction choisie u, et les valeurs de cette dernière pour les différentes valeurs de la variable sont considérées comme étant dos valeurs suffisamment approchées de f{x).

Los méthodes que nous allons indiquer dans ce deuxième cas s'appli(iueraient du reste aussi bien aux fonctions que nous avons considérées dans le premier cas ; elles ne font intervenir que les valeurs numériques de f(x) pour un certain nombre de valeurs de xj et Ton peut toujours supposer ces valeurs données ou calculées à Tavance.

151. Interpolation par parties proportionnelles. — Le cas le plus simple est celui où Ton connaît les valeurs de f(x) pour deux valeurs Xq et Xi de x; nous les désignerons par Mq et Ui ; on prend alors comme fonction simple approchée une expression du premier degré prenant les valeurs i/o et ui pour Xq et Xi ; si on la désigne par u, elle doit satisfaire à la condition

Wt — wo .

X — Xq X| Xo

on en déduit

X — Xo

Xi Xq

Xo Xj

On dit <|ue Ton fait une interpolation par parties proportionnelles parce <|ue Ton oorit que raooroissoment de « est proportionnel à celui de x; cola rt* vient au fond à substituer à la courbe représentative de la fonction /*x' la droite joignant les deux points de cette courbe d*absois*ios Xo et x, : cette méthode est employée couramment, en par-

ticulier dans la recherche des logarithmes des nombres ne se trouvant pas dans les tables.

152. Formule de Lagrange. — Plus généralement, si Ton connaît les valeurs uo> "o • • • > "n de f{x) pour les valeurs Xq, x^, . . . , Xn, en nombre n-hi, il existe un polynôme u de degré n prenant les mêmes valeurs que la fonction pour ces n-\-\ valeurs ; ce polynôme est

[X — x,l(x X-i) . . . [x — x„) {x XoHx Xi) . . . (x — x„)

u =-- Uq :-. ;^ : : -T- «1

( J'o — X^){XQ — Xi) . . . [Xo — X„] [Xi — Xq ; iXi — Xi) ... {Xi — J„)

(x Xo)(x J,) . . . [x Jn,,) .

"(j:„ — XoilJ'n — ^l) . . . {x^ — Xn-i)'

on vérifie bien que ce polynôme, qui est de degré /i, se réduit à Uq pour x^=Xq, à Ui pour x=^Xi, etc. La valeur de u est connue sous le nom de formule d'interpolation de Lagrange.

153. Des différences . — Il arrive communément que les valeurs successives de la variable que Ton considère forment une progression arithmétique et sont de la forme

^oi Xo-hh, Xo-{-2h, ..., XQ-]-nh,

h étant la raison de la progression ; ce qu'il importe alors de connaître, ce sont les différences qui existent entre les valeurs consécutives «o, Ui, . . . ^ Un de la fonction.

On appelle différences premières les accroissements successifs lorsqu'on passe de chaque valeur à la suivante; on les désigne par

AOo =Ui — Mo, Au, == «2 — lli, . . . , Ali„i = H„ — Un-i *,

elles sont en nombre n — 1 ; les différences de ces quantités sont appelées différences secondes et désignées par

A^io=^"i — ^«0; Aiii = Au2 — Auj, ..., A i/„2 = Aiz„i — Au„,;

elles sont en nombre n — 2; en continuant, on forme les différences troisièmes et ainsi de suite , et Ton arrive à une différence /i*

An . n — 1 . n — 1

Uo = A Ui — A Uo ;

il peut arriver que les différences d'un certain ordre soient toutes nulles, et il en est de même alors de celles des ordres suivants.

Le calcul des différences se fait en disposant les nombres dans un tableau suivant des colonnes verticales de la façon suivante, qui se comprend d'elle-même ; nous supposons que l'on donne quatre nombres inscrits dans la première colonne et nous écrivons les différences successives dans les colonnes suivantes.

Mo "3

Auo AU]

Ali2

A «0 A lii

A uo==0,Oi

Lorsque Ton connaît les nombres de la première ligne, c'est-à-dire Mo et ses différences successives Ai/o, A i/o, ... on peut retrouver, par des additions successives, les différents nombres du tableau ; on a pour ceux de la deuxième ligne

Ho -4- Auo , Aui = Aiio -h A Uq,

A Uq

on a de même pour ceux de la troisième, les valeurs

1/2 == Ui -H Aui , Ai/2 ^ Auj -h A i/i, ... ;

en remplaçant Uj et ses différences par leurs valeurs en fonction de Uq, Auo, • • • f on a

H3 = "2 -i- Aw2 = uq-{- 3Aho -h 3A^/o 4- A'i/o,

et ainsi de suite. On voit apparaître les coefficients successifs du dé- \eloppement du binôme ; il serait facile de démontrer que l'on a en général

A Mo

les coefficients étant ceux du binôme (x -+- a)" ; on vérifierait que si la formule est vraie pour une valeur de Tindice, elle est encore vraie pour la valeur suivante.

154. Formule dlnterpolatlon de Newton. — Supposons que Ton donne trois valeurs de x en progression arithmétique de raison h, soient j*o, x^-hh et Xo-\-2h, et que les valeurs correspondantes de la fonction f{x) soient Wo; "i et u^; formons leurs différences succès-

sives, et désignons par z le rapport -; si nous considérons le

polynôme

u = «0 -h -■ Auo H T—r. A Uo,

nous voyons qu'il prend les valeurs Uq, Ui et u^ pour Xq, Xo-hh et Xo-h2h, car les valeurs con*espondantes de z sont 0, 1 et 2, et celles de u sont, d'après les formules du n** précédent, mq, ui et Ui. La valeur de u constitue la formule d'interpolation de Newton ; on substitue à la fonction f{x) le polynôme u pour toutes les valeurs de x. Dans le cas général, la formule de Newton est

U =r3 Ho -f- — Al/o H . ^ - A Mo H • • •

, Ziz il'Z 2) • • • iz n-f-1) .n

ce que nous avons dit dans le n° précédent permettrait de vérifier que le polynôme u prend les valeurs jiq, Ui, ... w„ pour Xo, x^^-^hy . . . , jTo-f- nA.

Pour donner un exemple, supposons que f[x) ait les valeurs inscrites dans la première colonne du tableau précédent pour les valeurs

x^ = 2, Xo-¥-h = 2-^^^ Jo + 2/i=-2-f--^i :r^ ^ 37, =. 2 + -^ ;

lU \\j lU

on posera alors n = 3 et z = Tyix — 2), et l'on aura

i/=r:2,î)4-i-o,60(r>x — 40)H-o,or)ir)j — 10) oj- — 1!)

0,01(r)j— 10). oar — il) r)x— 12).