CHAPITRE VII
155. Ordre d*un infiniment petit. — On appelle infiniment petit une quantité variable à laquelle on attribue une suite de valeurs dont la limite est zéro.
Si une fonction y de x a pour limite zéro lorsque la variable tend vers zéro, y est infiniment petit en même temps que x\ lorsque Ton a divers infiniment petits dépendant Tun de Tautre, et qu'on veut les comparer, on choisit Tun d'eux que l'on considère comme infiniment petit principal et Ton considère les autres comme des fonc* lions de celui-là. Si Ton désigne l'infîniment petit principal par Ax, et si un autre infiniment petit dépendant du premier est représenté par Ay, il arrive ordinairement que Ton peut trouver un exposant m tel que
le rapport — -^ ait une limite déterminée et non nulle ; on dit alors
que ày est un infiniment petit d'ordre m; Tinfiniment petit principal Ax est d'après cela toujours du premier ordre.
Exemples, — Les infiniment petits
\y =\^2 Ax* H- Ax^ , Ajs = sin Ax
sont, le' premier de l'ordre \-^ et le deuxième du premier ordre car
le rapport de Ay à Ax' a pour valeur \/2-j-Ax2 et a pour limite
V2, et d'autre part, le rapport de Az à Ax a pour valeur et
Ax
a pour limite 1 .
Si une quantité infiniment petite Az a un ordre supérieur à celui
d'une autre quantité analogue \y, on dit que A2 est un infiniment
Az petit par rapport à Ay ; le rapport -— ^ a alors pour limite zéro.
Soit A^ un infiniment petit d'ordre m, et / la limite du rapport
-— ^; on peut écrire
Ay
Ax*"
e étant une quantité ayant pour limite zéro; on en conclut
Ay = (/-|-6)Ax'" = / Ax*" -f- e Ax^ ;
le produit /Ax" de Ax^ par la limite / est appelé partie principale de rinfiniment petit Ai/ ; la partie complémentaire e Ax'" est infiniment petite par rapport à cette partie principale. Par exemple, les parties principales des infiniment petits ly et Az, que nous avons
indiqués comme exemples, sont y2 Ix^ et Ax.
Dans les calculs relatifs aux infiniment petits, ce sont surtout les^ parties principales qu'il importe de considérer ; ce fait est mis en lumière par deux théorèmes concernant Tun la limite du rapport, l'autre la limite de la somme de quantités infiniment petites ; nous ne parlerons ici que du premier, l'autre étant du domaine du calcul intégral.
Théorème. — La liniile du rapport de deux infiniment petits du même ordre est égale au quotient des parties principales.
Si Ay et Az sont deux infiniment petits d'ordre m, et si l'on a
Ay == (/ -h g) Ax*», Az = (/' -f- s') Ax"»,
le rapport — ^ a pour valeur — et a pour limite -r-\ cette limite
Az t — j— £ *
est bien identique au quotient des parties principales /Ax*" et /'Ax".
Corollaire. — On ne change pas la limite du rapport de deux infiniment petits du même ordre en augmentant ou diminuant chacun d'eux d'une quantité infiniment petite par rapport à lui; car on n'altère pas les parties principales. On peut remplacer par exemple
dans des rapports, les quantités infiniment petites sin Ax et 1 — cos Ax
Ax* par Ax et —j--
VoGT. — Math. sup. 13
156. Dllfépentlelle d'une fonction. — Soit y = f{x) une fonction continue ayant une dérivée f'(x) ; raccroissement Ay de la fonction correspondant à un accroissement Ax de la variable indépendante est un infiniment petit en même temps que Ax; comme leur rapporta pour limite fix)-, on voit que \y est en général du premier ordre et a pour partie principale f'[x)\x.
Cette partie principale est appelée différentielle de y et est représentée par la notation dy, de sorte que Ton a par définition
dy =f'{x)^x.
Si Ton considère en particulier une fonction égale à la variable x, sa dérivée est égale à 1 , et sa différentielle dx est identique à Ax ; il est donc indifférent d'écrire dx ou Ax; c'est pourquoi Ton écrit ordinairement dans le cas d'une fonction quelconque
on en déduit
dy=f[x)dx\
157. Signification géométrique. — La signification géométrique de la différentielle est la suivante: nous avons vu au n° 113 que la dérivée f'(x) est le coefficient angulaire de la tangente MT en M à la courbe représentative de la fonction f{x) . Si nous nous reportons à la figure 40, et si nous désignons par Ax l'accroissement PP' de l'abscisse x , nous voyons que la différence P'M' — PM =-- Q'W représente l'accroissement Aiy; quant à la différentielle dy , qui a pour valeur /'Vx)Ax, elle est l'accroissement de l'ordonnée d'une droite de coefficient angulaire /*'(x) correspondant à l'accroissement Ax de l'abscisse ; elle est représentée par la différence P'N' — PM = Q'N' des ordonnées de la tangente.
158. Différentielle d'une fonction de fonction. — Soit une fonction
dans laquelle u est une fonction donnée de la variable indépendante x; à l'accroissement infiniment petit Ax donné à x correspondent pour u ti y des accroissements Au et Ay dont les parties princi -
pales sont les dilTérentielles du et dy. La dérivée f'[u) est la limite de — ^? et d'après le théorème démontré précédemment (n° 155), elle
est égale au quotient des parties principales, c'est-à-dire des différentielles dy et du; on a donc
et Ton en tire
2) dy=r{u)du;
on obtient ainsi les mêmes résultats que dans le cas d'une fonction de x; on peut donc comprendre tous les cas dans un même énoncé de la façon suivante:
Théorème I. — La dérivée d'une fonction est égale au quotient des différentielles de cette fonction et de la variable dont elle dépend, que celle-ci soit la variable indépendante ou non.
Théorème II. — La différentielle d'une fonction est égale à la dérivée de cette fonction par rapport à la variable dont elle dépend immédiatement, multipliée par la différentielle de cette variable, ffu'elle soit indépendante ou non.
159. Calcul des différentielles. — Les théorèmes précédents ramènent Tun à Tautre le calcul des différentielles et celui des dérivées. Lorsqu'il s'agit de fonctions simples, c'est du calcul des dérivées que l'on déduit celui des différentielles; les résultats obtenus dans les n°' 115 et lie permettent d'écrire immédiatement dans tous les cas, a étant variable indépendante ou non, les différentielles suivantes
du'" = mu'"~^du , d tg u = -— du ,
cos^ u
de** = e"du , d arc sin u = - du ,
d log u =:— du, d arc cos u = du ,
d sin u = cos u du , d arc tg u rz= du .
d cos H = — sin u du ,
Lorsqu'il s'agit de fonctions composées, le calcul des différentielles est souvent plus simple que celui des dérivées ; prenons comme exemple le calcul de la différentielle dune somme y = a -hr-hio; on peut calculer Taccroissement de y , qui est la somme des accroissements des différentes parties, et Ton a
Ay = Au -4- Av -h Aïo ;
en écrivant que les parties principales des deux membres sont égales, on a immédiatement
dy =. du -]- dv -\- dw ;
on en déduit après coup, en divisant par dx, la relation entre les dérivées des fonctions y , u, v et w ; elle est
dy du dv dtv
dx dx dx dx
On obtient de même comme différentielles d'un produit et d'un quotient les valeurs
d[uv)=^ vdu -h udvy
jf u\ vdu — udv
et l'on en déduit immédiatement les dérivées en divisant les deux membres par dx; on retrouve ainsi les résultats des n°" 119, 120, 121 .
160. Usages des différentielles. — Un des principaux avantages
de l'emploi des différentielles réside dans ce fait que la notation -^
indique indifféremment la dérivée de y par rapport à x ou le quotient des différentielles de t/ et de x . Toute relation entre les dérivées premières de plusieurs fonctions peut dès lors être remplacée par une relation entre leurs différentielles et celle de la variable dont elles dépendent; il suffît pour cela de multiplier les deux membres de la relation donnée par une puissance convenable de la différentielle de cette variable.
Inversement, toute relation homogène entre les différentielles de plusieurs quantités variant simultanément peut être remplacée par une relation entre leurs dérivées prises par rapport à une variable indé-
^zjmfr^
pendante donnée ; il suffit en effet de diviser les deux membres par une puissance convenable de la différentielle de cette variable. Une relation entre des différentielles est même plus avantageuse par ce fait que la variable indépendante n'est pas spécifiée, et qu'on peut la choisir comme on le désire dans chaque cas particulier.
Dans les applications du calcul différentiel, on se propose ordinairement de chercher les relations qui existent entre les limites des rapports de quantités infiniment petites variant simultanément. Soient, pour fixer les idées^ trois quantités x, y, z dépendant d'une même variable indépendante t qui peut être identique à Tune d'entre elles, et soient \x, Ay, As, les accroissements infiniment petits correspondant à un accroissement infiniment petit A^ de t.
On commence par établir les relations qui existent d'après les données de la question entre les accroissements finis Ao;, Ay et Az ; ces relations sont forcément homogènes (n° 62) ; soit
l3) fi^x, Ay, \z) = 0
Tune d'elles ; nous allons montrer qu'il suffit, lorsqu'on passe à la limite, d'y remplacer les infiniment petits par les différentielles dx, dy, dz correspondantes.
Remarquons en effet que la partie principale de Ax est le produit
dx de la dérivée -7- par la différentielle A^ ou di de /; on a donc
dt
ÙlX =: (-^ -h Adl = dx -h tdty
£ tendant vers zéro avec dl ; on a de même
\y = dy -f- i'dt, As — f/z -f- t'dtj
z' et e' tendant vers zéro comme e avec dt] en introduisant ces valeurs dans l'équation (3), elle devient
f{dx-htdl, dy-ht'dt, dz-hi''dt) = 0;
lorsqu'on passe à la limite, les e tendant vers zéro, elle se réduit simplement à
(4) f{dx, dy, dz) = 0;
nous voyons bien que la relation (3) entre les quantités finies Ax, Sy , Az se transforme, lorsqu'on passe à la limite, dans la relation (4,, ce que nous voulions établir.
On peut, dans l'établissement des relations telles que (3), substituer aux infîniment petits considérés d'autres qui n'en difTerent que par des quantités infîniment petites par rapport à eux, car on ne change pas les différentielles et la relation finale (4) est toujours la même.
161. Différentielle d'un arc de courbe. — On appelle longueur d'un arc de courbe plane MM^ (fîg. 45) la limite du périmètre d'une ligne
polygonale inscrite MPQM', lorsque le nombre des côtés de cette ligne augmente indéfiniment, chacun d'eux tendant vers zéro.
Admettons que cette limite existe, ce que nous démontrerons dans le calcul intégral, et que le rapport d'un arc à sa corde ait pour limite l'unité lorsque l'arc tend vers zéro.
Soient x, y les coordonnées d'un point M , x -{- ^x , y -{- Ay celles du point infîniment voisin M', s la longueur d'un arc de la courbe. As celle de l'arc infiniment petit MM'; la corde MM' a pour longueur {^\x^-h\y^\ comme le rapport de l'infîniment petit As à la corde MM' a pour limite l'unité, les parties principales ou différentielles de ces deux quantités sont les mêmes ; or celle de {^Ax^ H- \y^ est la valeur que l'on obtient en remplaçant Ax et Ay par les différentielles dx et dy ; si donc on appelle ds la différentielle de l'arc, on a, pour la déterminer, la relation
Fig. 45.
OU bien encore
ds = ^dx^-hdy\
ds^ = dx'--hdy\
De cette relation, on peut déduire une équation entre les dérivées
de Xj y et 5 ; si t est la variable indépendante dont dépendent ces
quantités, et si Ton divise par dt^ les deux membres de la relation (5),
on a
ds\^
(Il
ou bien, en désignant par x', y' et s' les dérivées de x, y et s par rapport à t,
dans le cas particulier où la variable indépendante est x lui-même, on a or' = 1 , et la relation devient .
Par un raisonnement analogue, on verrait que la différentielle d'un arc de courbe dans Tespace est donnée par Téquation
ds^ = dx^ -f- dy^ -h dz^,
en désignant par x, y , z les coordonnées d'un point de cette courbe.
162. Différentielles d'ordres supérieurs. — Plaçons-nous d'abord dans le cas d'une fonction y =^ f[x) d'une variable indépendante x ; à l'accroissement Ax correspond la différentielle
que nous appellerons différentielle du premier ordre ; elle varie avec x et, en temps que fonction de x, elle a elle-même une différentielle que l'on appelle différentielle du second ordre de y ; on la représente par la notation d y.
D'après la définition donnée au n° 156, on l'obtient en multipliant la dérivée de dy par l'accroissement \x ; pour prendre la dérivée de dy, il faut considérer cette fonction comme le produit de deux facteurs, l'un égal à f'{x) qui varie avec x, et l'autre égal à l'accroissement Ax que l'on suppose rester le même quel que soit x ; Ax est alors traité comme une constante dans le calcul de la dérivée. D'après cela^ la dérivée de dy est f\x)lx ; par suite la différentielle de dy est
d^y = [/""(x) Ax] Ax = /•"(x)Ax^ Cette différentielle a elle-même une différentielle que l'on appelle
différentielle du troisième ordre et qu'on représente par d y ; d'après le même raisonnement, elle a pour valeur
et ainsi de suite ; en général, la différentielle d'ordre m a pour valeur
d'"t/=/'('">(ic)Ax'".
On peut indifféremment représenter Taccroissement Ax par Ix ou dx, comme nous l'avons dit, et Ton écrit habituellement, en introduisant dx à la place de Ax,
on en tire
d'^y =f^'"^(x)dx'" ;
Ces deux équations permettent d'introduire dans les calculs la no-
d^u tation —r-^ à la place de la dérivée j/^"\ et de considérer ce symbole
CliJu
aussi bien comme représentant la dérivée que le quotient de d'^y par dx"^, à la condition toutefois que x soit la variable indépendante. Considérons maintenant le cas d'une fonction de fonction, comme au n° 15.8 ; on a pour la différentielle du premier ordre la valeur
dy=f'[u)du,
mais si l'on cherche la différentielle d'y, il faut remarquer que du n'est pas constant quand x varie, comme l'était Ax ; on a alors à prendre la différentielle d'un produit de deux facteurs. D'après une formule démontrée (n° 159), on a
J'y = [dr{u)]du H- f'{u)d(du) ;
comme df{u)=f"{u)du (Théorème II, n° 158) et que d{du) est représenté par J M^ on a
d'y=f''{u)du^-hf'(u)d\i;
on trouvera de la même manière les différentielles suivantes d'après la règle de différentiation d'un produit.
