CHAPITRE VIII
163. Dérivées partielles. — Soit f{Xy y) une fonction de deux variables indépendantes ; on dit qu'elle est continue pour un système de valeurs [xy y) si Taccroissement de la fonction correspondant à des accroissements h et k des variables, c'est-à-dire la différence
f{x-hh,y-hk) — f(x, y)
tend vers zéro lorsque h et k tendent simultanément vers zéro d'une manière quelconque.
On appelle dérivée partielle de f{x, y) par rapport à x la dérivée de cette fonction, où x est regardé comme seule variable et y comme constant ; c'est la limite du rapport
on la désigne par fLi^, y) ou par t-^, ce dernier symbole étant
une simple notation pour la dérivée, et n'étant pas un quotient de différentielles.
La dérivée partielle de f[x, y) par rapport à y est de même la dérivée de la fonction où y seul est regardé comme variable, et x
comme constant; on la désigne par f'y ou par t-^»
Les dérivées du premier ordre sont des fonctions de x, y ayant en général elles-mêmes des dérivées partielles qu'on appelle dérivées partielles du second ordre de f\x, y) ; celles que l'on obtient en dé-
rivant f^ sont désignées par /*ji on rr-^ et f^ ou ^ ; celles
que l'on obtient en dérivant fy sont désignées par /"/i ou t- — y" ^^
Les dérivées secondes ont elles-mêmes des dérivées partielles qui sont les dérivées du troisième ordre de fixy y) et ainsi de suite.
Exemple. — La fonction j;*"^" a pour dérivées premières et secondes
--L r= mx"'-*y'*, -^ = nx^t/""',
—-L. = mim — 1 ix'"""^*/'', -r — ^ = mnx'"-*!/''-*
- — L— = mnx'"-^y"-\ -r- ^ —
Oy ox ^ oy
mnx"'-^y"-\ -^^ = n{n — i)x'"y'*-*.
On voit que les deux dérivées partielles t: — i — i -r — ^ sont
Ox oy oy Ox
identiques ; c'est un fait que Ton peut vérifier sur d'autres exemples, et dont nous admettrons la généralité ; nous en réservons la démonstration pour une note placée à la fin du volume.
Il résulte de là que l'on peut intervertir dans une dérivée partielle Tordre des dérivations successives sans changer le résultat ; on peut commencer par les dérivations par rapport à x, et terminer par rapport à y. Ces considérations s'étendent à un nombre quelconque de variables ; s'il y en a par exemple trois, Xy y, z, une dérivée partielle résultant de a dérivations par rapport à x, p par rapport à î/ et y par rapport à z, dans un ordre quelconque, pourra être obtenue en calculant d'abord les a dérivées par rapport à x, puis ensuite les f dérivées par rapport à y, et enfin les y dérivées par rapport à z ; elle sera représentée par
f-^hy OU par r^ — r-l-T- — , (a-+-S-+-Y = 7i).
164. Différentielle totale. — Soit une fonction de deux variables indépendantes
ft
attribuons aux variables des accroissements infiniment petits Ax, Ai/, indépendants Tun de l'autre et considérés simultanément comme infiniment petits principaux ou du premier ordre ; l'accroissement correspondant de z est
Az = /';j*-i- Ax, y-h^y) — f{x, y).
On peut le considérer comme résultant de deux accroissements successifs donnés aux variables, et l'écrire
Az = [f(x-h^x, y H- ly)~f{x, y -4- Xy)] -+- [fw, y -h \y)—f(x,y)] ;
d'après la formule des accroissements finis (n° 129), la première parenthèse, qui représente l'accroissement de la fonction fix, y -f- Ai/) pour l'accroissement Ax donné à la seule variable Xy est égale à
^xf^(x-\-blx, y-^ly),
b étant compris entre 0 et 1 ; de la même manière, la seconde parenthèse, qui représente l'accroissement de fix, y) pour Taccroissement Ai/ donné à la seule variable y, est égale à
H' étant aussi compris entre 0 et 1 .
Si les deux dérivées fx^x, y) et f'yix, y) sont des fonctions continues par rapport à x et à y, on a
/■^(x-hôAx, y-h\y)=fi(x, y)-hE, flix, y -4- B'\y)=f'y{x, y) -h t\
fe et e' tendant vers zéro avec Ax et Ay ; on a alors
■l) àz = fx{x, y)\x-\- f'yixj y)\y -\- t\x -\- i! ù^y .
La partie principale de \z est constituée par les deux premiers termes du second membre ; on l'appelle différentielle totale de z, et on la représente par dz, de sorte que l'on a
(2) dz = f^{x, y)^x-hfy{x, y)\y.
Supposons en particulier que z se réduise à la variable x; sa différentielle est dx et se réduit à Ax, de sorte que l'on peut écrire dx
II place (le Ax; de même, si z se réduit à la variable y, sa difféilielle (/(/ est égale à ly, et l'on voit que l'on peut écrire <Iy à place de ly ; on en conclut que l'on peut mettre la différentielle aie (Iz sous la forme
d= = f:{x, y) dj:-hf,{x, y) dy,
s l'on emploie habituellement,
Remarque. — Pour qu'une fonction /"(j-, y) soit indépendante X, il faut et il suffit, comme on le sait, que sa dérivée par rapport X soit nulle ; de même, pour qu'elle soit indépendante de y, il faut il suffît que sa dérivée par rapport à y soit nulle. On conclut delà e pour qu'une fonction de plusieurs variables se réduise à une consite, il faut et il suffit que ses dérivées partielles soient séparément Iles, ou bien, ce qui revient au même, que sa différentielle totale soit lie identiquement.
165. Di Itère ntlell« totale d'une tonctl on composée. — Soit
e fonction de deux quantités h et v qui sont elles-mêmes des ictions d'une ou de plusieurs variables, par exemple de x et de y; est appelée fonction composée de ces variables. Appelons Ao , M- et As les accroissements de u, v et s coripondant à des accroissements Aj: et A^ des variables ; un raisonment identique a celui que nous avons fait précédemment nous donra une relation analogue à la formule (I) ; ce sera
As = /■:(«, D)\u + /■;(«, u)Au -+- tAii + t'Ai',
et t' étant infiniment petits. La partie principale de As, c'est-àre sa ditTérentielIe totale, s'obtiendra en remplaçant dans les deux emiers termes du second membre Au et \v par leurs parties incipales ou dilTérentielles du et ilv, et l'on aura
I (h ^ /■:(« , v) du H- /■;(« , v) dv ;
là découlent les théorèmes suivanis. analogues à ceux du n" 158 :
Tliéorémc I. — La ih'ffêreiiliette loltile d'une fonction composée
esl égale à la somme des produits obtenus en multipliant la dérivée partielle de cette fonction par rapport à chacune des variables dont elle dépend immédiatement, par la différentielle de cette variable, qu'elle soit indépendante ou non.
Théorème II. — Si l'on met la différentielle totale d'une fonction sous une forme linéaire par rapport aux différentielles de plusieurs variables, qu'elles soient indépendantes ou non, les coefficients de ces différentielles représentent les dérivées partielles de la fonction par rapport à ces variables.
166. Dérivées des fonctions composées. — Les théorèmes précédents permettent de ramener l'un à Tautre le calcul des différentielles et le calcul des dérivées, mais il y a souvent avantage à calculer d'abord des différentielles et à en déduire les dérivées. Supposons que Ton considère comme au n° précédent une fonction composée z dépendant de deux variables indépendantes x et y par Tintermédiaire de fonctions u et i; ; si Ton veut obtenir la dérivée par rapport à X ou à y de cette fonction z, on remplacera du et dv par leurs valem's, qui sont
et Ton aura
du = u'jedx -h Uydy , dv = v'^dx -h Vydy ,
dz = ^' [u'^dx + u^dy) -h fl {v'Jx -f- v'^dy) ;
d'après le théorème II, les dérivées partielles seront les coefficients de dx et de dy ; on aura de cette façon
fLu'x + f'.v'x,
le résultat peut s'énoncer ainsi :
Théorème III. — La dérivée d'une fonction composée est égale à la somme des produits obtenus en multipliant la dérivée partielle de cette fonction par rapport à chacune des variables dont elle dépend immédiatement, par la dérivée de cette variable.
Pour montrer l'avantage que présente le calcul des différentielles, considérons la fonction
z = arc tg ^ -f- -:t- log [x^ -h y^) ;
pour former sa différentielle totale, nous poserons
s == arc tg uH- - log v\
nous en déduirons
du
^xdy~ydx dv = 2xdx^2ydy,
dz= ^" +^^^-
1 -f- u* 2v en remplaçant dans dz , du et dv par leurs valeurs, nous aurons
dz =z-^^f^^dx -^ •^"^■^, c^ï/ ; ^ -^y x^ -\- y^
les coefficients de dx et r/^ sont les dérivées partielles de z par rapport à x et à y.
