Dérivées des fonctions implicites. — Soit
fix, y) = 0
une équation définissant une fonction y implicite de x\ le premier membre étant constamment nul a une différentielle totale nulle, et Ton a, en appliquant la formuie (4),
(6) f'Jx-\-f;dy = 0;
en résolvant cette équation par rapport à —^ , on obtient la dérivée , dx
-^ ou î/i de y par rapport à x\ elle est
dx - t'y ■
De même, si une équation
définit une fonction implicite z de x et de y y on écrit que sa différentielle totale est nulle, et Ton a
(7) fLdx-hf^dy-hf:dz = 0;
en résolvant cette équation par rapport à c/z, les coefficients de dx et dy sont les dérivées partielles de z . 11 est préférable de conserver l'équation sous la forme précédente, parce que les variables indépendantes sont laissées indéterminées, et peuvent être choisies après coup arbitrairement.
168. Différentielles d*ordres supérieurs. — Considérons une fonction z de deux variables indépendantes x et y ; la formule (2) nous a donné pour la difi*érentielle totale du premier ordre la valeur
dz = f'^\x -^ f;^y ;
c'est une fonction qui a elle-même une différentielle, qu'on appelle différentielle totale seconde de z et qu'on représente par d^z; on robtient en faisant la somme des différentielles des deux termes, mais dans chacun d'eux, on doit considérer les accroissements Ax et Ay comme des facteurs constants lorsque x et y varient; on a ainsi
/8) d\ = (/^.Ax -^ /"i^Aî/Ux -4- {f;,lx -4- f;,\y) \y
= /:.Ax2 + 2/J,AxAt/ -f- /•;.Ai/2 ;
on obtiendrait de la même manière les différentielles suivantes d^z,
Vt J» m > « * •
On forme facilement la valeur d'une de ces différentielles en remarquant qu'elle est composée de termes analogues à ceux qui interviennent dans la formule du binôme; ainsi d^z peut s'écrire sous la forme symbolique
A = (AAa: + /-;A3/)«;
en développant la parenthèse d'après la formlile du binôme et considérant les puissances et le produit de /"i et f'y comme des sym-
boles de dérivées partielles secondes, on retrouve la formule (8); on peut démontrer que Ton a en général
en convenant de remplacer dans le développement de la puissance n* de la parenthèse tout produit tel que [fxYifyY^^ par /"^"^ n-p ; on vérifierait que si la formule est vraie pour n, elle est encore vraie pour n -f- 1 .
On remplace ordinairement dans ces formules \x et Ai/ par dx et dy .
Lorsque Ton a une fonction composée, dont la différentielle du premier ordre est donnée par la formule (4) et que Ton veut trouver sa différentielle du second ordre, il faut considérer du et dv non plus comme des accroissements constants, mais comme des fonctions variables ; on traite alors chaque partie de la somme comme un produit, et Ton trouve ainsi
d\ = fl^du^ -h 2fUudv -+- fl.dv^ -4- fld\ -f- f'yd\ .
On forme de même les différentielles suivantes.
169. Changement de variables. — Premier problème. — Ëtant données une ou plusieurs fonctions y y z, ... d'une même variable X, et une expression composée au moyen de x, y, z^ ... et des dérivées i/i, zi, y^t, . • . , on se propose de chercher ce que devient cette expression lorsqu'on prend comme variable indépendante une autre quantité liée à x d'une manière donnée.
Pour résoudre cette question, nous commencerons par remplacer l'expression donnée par une autre renfermant les différentielles successives de X, y , Zy ... , et nous considérerons toutes ces quantités comme fonctions d'une variable nouvelle laissée indéterminée.
Toute dérivée du premier ordre telle que yi est égale au quotient
— ^ des différentielles de y et de x; mais cette remarque ne se dx
généralise pas pour les dérivées suivantes, et y^t n'est égal à -j^ que si x est la variable indépendante (n° 162). Pour déterminer y" en fonction des différentielles successives de x et de y, nousre-
marquerons qu'elle est la dérivée première de y', et qu'elle est égale au rapport — ^ ; comme le numérateur est la différentielle de y', c'est-àdire la différentielle du quotient -^, nous aurons, d'après la règle de différentiation d'un quotient (n° 159),
, , dx (I y — dxj d X ,
nous en déduirons
g c/y ' dxd y — dydx
nous formerons de même les expressions des dérivées successives y" = -JL. , ... au moyen des différentielles de y et de x et nous
les remplacerons dans l'expressioh proposée.
Considérons par exemple l'expression suivante, qui représente, comme nous le verrons, le rayon de courbure d'une courbe plane;
calculée en considérant x comme variable indépendante; en introduisant les différentielles et remplaçant y' et y" par les valeurs trouvées précédemment, on a
kJ
4+/'^Vl^
dx I ] __ [dx^-\-dy'^Y dxd? y — dyd^x dx d^y — dy d^x ~dx^
Lorsque l'on a ainsi introduit dans une expression les différentielles des différentes quantités qui y entrent, si l'on veut particulariser dans un cas donné la variable indépendante et mettre en évidence les dérivées par rapport à cette variable, il suffit d'exprimer les différentielles au moyen des dérivées. Si par exemple la variable choisie est désignée par l, on remplace les différentielles par leurs valeurs dx = x'i dt, c/*x = Xtt dl^, et ainsi de suite.
Par exemple, l'expression, précédente de R devient, après intro- VoGT. -— Math. sup. r*
duction des dérivées par rapport k t et suppression du facteur commun dt^ au numérateur et au dénominateur
xy — y'x'
170. Il arrive quelquefois que les quantités x, y, z, ... sont liées à d'autres variables par des relations connues ; supposons par exemple que Ton fasse sur x et y la transformation des coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires (n° 80), définie par les relations
j: = p cos Ô , 1/ = p sin 6 ;
en différentiant les deux membres, sans spécifier la variable indépendante, nous aurons
(iO)
dx = dp cos 0 — p sin 6 t/ô , dy = c/p sin ô -4- p cos 6 dd ,
d^x = c/^p cos 6 — 2dp c/ô sin 6 — p cos ô f/ô — p sin 6 c/*6 , d y = d^çi sin 6 -+- 2 Jp c/Ô cos 6 — p sin Ô J6* -^ p cos G d^^ ,
et ainsi de suite ; nous remplacerons alors dx, dy, . . . par ces valeurs et nous obtiendrons une expression formée au moyen de p, ô et de leurs différentielles ; il suffira de fixer après coup la variable indépendante.
Par exemple, l'expression donnant le carré de la difl'érentielle de Tare d'une courbe plane est (n° 16i)
ds^ = dx^ -h dy^ ;
pour former son expression en coordonnées polaires, nous remplacerons dx et dy par leurs valeurs (9), et nous aurons
ds^ rr= (/p2 H- p2 J6« ;
par un calcul analogue, la quantité R du n° précédent deviendra en coordonnées polaires,
fhlb' -f- 2dfdf) — p^'^p f/O -h p c/p d^ '
si Ton particularise la nouvelle variable indépendante et si on la prend égale à 6 , p est une fonction de cette variable, et les différentielles de p doivent être remplacées par Jp = p'r/ô , d ç, = p"(/ô*, tandis
que d 0 est nul ; on a ainsi
p -h-p pp
171. Deuxième problème. — Soit V une fonction de plusieurs variables indépendantes, par exemple, de x et de y, et F une expression renfermant les dérivées partielles de V par rapport à ces variables ; nous allons chercher ce que devient cette expression lorsqu'on remplace X et y par d'autres variables indépendantes ; nous prendrons comme exemple la transformation des coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires.
Nous allons former les relations qui existent entre les dérivées partielles de V par rapport aux anciennes et aux nouvelles variables; écrivons la valeur de la différentielle totale de V dans les deux cas ; nous aurons
Dx ôy "^ ()p ^ ôô
remplaçons dx et dy par leurs valeurs (9) ; nous obtiendrons
-î^ ( Jp cos 0 — p sin 0 c/Ô) ^- "-- (f/p sin 0 H- p cos 6 Je) = -^ Jp -h -^ c/ô ;
bx ^ ^ by ^ ^ ^ ^ ôp ôO
c'est une identité par rapport aux différentielles indépendantes dp et (/G ; en égalant les coefficients de ces différentielles dans les deux membres, nous aurons
— cos 0 H sm 6 = — — ,
Ox Oy op
— - - p sm 0 -h - — p cos 0 = — . <)x ^ by M
Ces relations, que nous aurions pu écrire immédiatement en partant des fonnules (5), nous donneront les valeurs de — et — en fonc-
tion de — — et - — •
ôp ôô
Nous formerons de même la différentielle totale seconde rf*V, mais
en considérant p et 0 comme variables indépendantes et a; et y
comme fonctions de ces variables dont les différentielles sont données
par (9) et (iO); en séparant les termes en r/p*, </p</ô et c/6*, nous en
déduirons des relations entre les dérivées secondes et nous en tirerons
^iy ^2v ô2V ^ .. , ô2V ôv* Ô^V,
les valeurs de
- - en fonction de -— — - 01/ 2 ôp*
bx^ ôxôy ÔI/2 ' ôp* ôpôô 06*
et ainsi de suite. Nous n'aurons plus qu'à remplacer dans l'expression
donnée F les anciennes dérivées par les valeurs trouvées.
Comme application des formules (ii), on peut vérifier que la somme
se transforme en
ôp
172. Théorème d'Euler sur les foDctions homogènes. — On reconnaît qu'une fonction f(x, y, z) est homogène et de degré m (n° 62) si Ton a identiquement
f{kx, ky, kz) = k^f{x, y, z).
Prenons les dérivées des deux membres par rapport à /f ; le premier membre est une fonction composée de la forme f[u, v, w), les composantes étant
u = kxy V = ky, w = kz ;
elle a pour dérivée (Théorème III, n° 166)
fLu'k -f- fvv'k -f- f>'k = xf/ca: H- yfiy -h zfi, ;
le second membre a pour dérivée
mk^-'f{x, y, z).
En égalant les dérivées, et faisant ensuite k= i , on arrive à la formule
^Ax -+- yfy H- !^fz = mf[x, y, z),
qui constitue le théorème d'Euler sur les fonctions homogènes.
