FORMULE DE TATLOR POUR LES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

173. Développement de f{x -{-hy y ~\- k). — Nous allons généraliser la formule de Taylor (n° 136) pour une fonction de deux variables X et y; le raisonnement s'étendrait immédiatement au cas d'un nombre quelconque de variables ; nous allons développer l'expression f{x-\-hy y -\- k) suivant les puissances des accroissements h et k.

Considérons la fonction suivante de la variable auxiliaire t,

Y{()=f{x-hhl,y-hkl), et appliquons-lui la formule de Maclaurin (n° 137) :

1 \ . ma l>aS.../i

rn + i

F est une fonction composée que Ton peut écrire sous la forme F(/) = f[u, r), en posant u = x-\-ht, v = y -hkl ; sa dérivée première par rapport à t est (n° 166)

Y'{t)=fy,-hnv\=hfi-^kr,;

sa dérivée seconde est

F'it) = h[hf:. ^ kfi) -f- kihf:, -4- kfi.) = h^f:. + 2hkf:, h- /c-^/;; ;

on calculerait de même les suivantes, et Ton constaterait que leurs valeurs sont analogues aux développements fournis par la formule du

binôme; on montrerait que cette remarque s'applique aux dérivées de tous les ordres par un raisonnement identique à celui du n** 168; on peut donc écrire symboliquement

en convenant de développer le second membre suivant la formule du binôme, et de remplacer dans le développement un produit tel que

[fLYiflY-" par /'<^)„,.

En faisant < = 0 dans les dérivées successives, u et u deviennent égaux à X et 2/ ; l'on a alors pour le développement de ¥[t)

, Faisons enfin / == 1 dans cette formule, nous obtiendrons le résultat cherché

pour calculer le dernier terme, on prend les dérivées d'ordre n-\-\ de f[x, y) par rapport h x et k y telles qu'elles sont indiquées dans le développement de la puissance symbolique {hfx-{- kfyY'*'^^\ et l'on remplace dans le résultat x par orH-O/i, et y par y-h^k.

De cette formule de Taylor on pourrait déduire une formule de Maclaurin donnant le développement de /'(X,Y) suivant les puissances de X et de Y; on ferait dans la formule précédente x=^0yy=0y X -f- ^ = A = X et 1/ -+- /t = A: = Y .

174. Remarque I. — Si f(x, y) est un polynôme d'ordre n, ses dérivées partielles d'ordre n n- \ sont toutes nulles, et les seconds membres de la formule de Taylor et de celle de Maclaurin sont limités aux termes de degré n, sans terme complémentaire.

Comme application, considérons le polynôme du second degré

f(x, y) = Ax2 -4- 2Bxy + C^^ -h 2])x -h2Ey-hF,

FOIOIULE DE TAYLOR (fONCÏIO.NS DE PLUSIEURS VARIÂBLES) 215

et formons le développement de f{x-\-h,y-\-ff) d'après la formule (1); nous avons

/•.x -^h,y + k)= fix, y) + hf. + kf, + 1 ( AY:. ^- 2kkr^ + fty;.) ; mais les dérivées secondes de f ont pour valeurs

nous avons par suite

f{x -\-h,y-h k) = fix, y) -+- hf'^ 4- kf'y -h AA* -+ 2BA/t -h C/c* .

Remarque II. — Les considérations du n** 138 s'étendent aux fonctions de plusieurs variables; si A et /c sont des quantités très petites, on obtient une valeur approchée de f[x -\- h, y -h k) — f(x, y) en prenant -au second membre de la formule (1) les termes dont le degré en A et k ne dépasse pas un nombre arbitrairement choisi, ordinairement 1 ou 2, et négligeant les suivants. En faisant n égal à ce nombre, on déduit du terme complémentaire une limite de Terreur commise.

Lorsque Ton a dans un terme la somme ou le produit de fonctions d'une seule variable, on se contente souvent des premiers termes des développements en série de ces fonctions obtenues par les méthodes du chapitre V.

175. Calcul des erreups. — Lorsqu'on substitue à im nombre exact a une valeur approchée a', on appelle erreur du nombre approché a' la différence entre ce nombre et le nombre a ; en la désignant par S'/ , on a

Ba = a' — a , d'où a' = a-h^a:

si Terreur est positive, a' est approché par excès; si elle est négative, a' est approché par défaut.

H arrive souvent, surtout dans les mesures expérimentales des grandeurs, que le nombre exact a est inconnu, ainsi que la grandeur et le sens de Terreur commise ; on connaît seulement la valeur approchée a' et une limite supérieure de la valeur absolue de Terreur Ba; si cette limite est représentée par A«, on est certain que | a' — a \ est inférieur à \a, et Ton peut affirmer que le nombre exact a est

compris entre a' — La et a' -+- Aa; on dit qu'alors a! est une valeur approchée de a à Aa près.

Par exemple, si une longueur est trouvée égale à 0°*,527 à 2"" près, la valeur exacte est comprise entre 0°*,525 et 0™,529.

176. Premier problème. — Dans les calculs effectués sur des nombres approchés, on a à résoudre deux problèmes fondamentaux ; le premier est le suivant :

Déterminer une limite supérieure de l'erreur avec laquelle on peut obtenir le résultat d'une formule numérique, dans laquelle les données ne sont qu'approchées, connaissant les limites supérieures des erreurs qui affectent ces données.

Soit

une formule donnant la valeur d'un nombre N au moyen des valeurs de nombres exacts a, h, c; supposons que l'on substitue à ces nombres des valeurs approchées

a' = a-\-la^ b' = b-\-Bb, c'=:c-\-Bc,

et qu'on calcule un nombre N' par la formule

Terreur commise en prenant N' comme valeur approchée de N est N' — N ; nous nous proposons de calculer sa limite supérieure.

En employant la formule de Taylor (1) réduite à deux termes et analogue à la formule des accroissements finis, on a pour valeur de N' — N la quantité

(2) f[a^la, b-hBb, c-hBc)—f(a, b, c)=Bafâ{a-hbha, 6+ÔS6, c-f-6ôc)

-}-86/*i(a-+-ôSa, . . . ) -hSc/';(a -hGSa, ...);

on ne connaît ni Ba, hb, Bc, ni 6; on ne connaît que des limites supérieures Aa, A6, Ac des valeurs absolues des erreurs dont sont affectés a',b',c'; de plus, on peut affirmer que a-f-6 8a est compris entre a — Aa et a + Aa, et de même des autres.

Pour obtenir une limite supérieure de la valeur absolue du

FORMULE DE TAYXOR (FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLEs) 217

deuxième membre, on commence par chercher la plus grande valeur absolue des dérivées fâ, fb, fe lorsque a,b,c varient dans les intervalles (a — Aa, a-+-Aa), (6 — A6, 6-f-A6), (c — Ac, ch-Ac) ou bien dans d'autres plus faciles à évaluer comprenant les précédents; ordinairement, on arrondit les nombres donnés dans un sens tel que les dérivées fay f'b, fc ne puissent qu'augmenter en valeur absolue ; on multiplie ensuite les résultats par Aa, A6^ Ac et Ton fait la somme des valeurs absolues des résultats.

On écrit souvent la formule précédente sous la forme

(3) AN=| fa |Aa+|. /"i |A6^| f'c | Ac

et Ton prend les valeurs approchées par excès des dérivées pour les valeurs connues a', b', c' des variables ou pour des valeurs s'en écartant peu ; on a ainsi une valeur de AN toujours suffisante dans la pratique ; la formule (3) rappelle celle de la différentielle d'une fonction composée (n" 165), mais il faut remarquer que l'on doit toujours, dans le cas actuel, ajouter les valeurs absolues des termes qui composent le second membre. Si l'on considère par exemple une somme, im produit, un quotient ou une racine carrée de nombres positifs, on écrit

(4) A(a ii= 6 =b c) = Aa -h Aé -I- Ac,

(5) \ab = b^a-\-a\b,

(6) Af = lAa + AA6,

(7) Ai/a = —^^a.

11 faut de plus observer que dans le calcul effectif du nombre N' au moyen des nombres approchés a', b', c'y on ne conserve pas tous les chiffres décimaux ; la suppression de ceux qui dépassent un certain rang constitue une nouvelle erreur qui s'ajoute à la première.

Exemple, — Calculer le rayon R d'un cercle dont on donne la surface S; on connaît la valeur de cette surface S' = 123™^,57 à l'*"i

près, et l'on prend comme valeur de tu le nombre it' = 3,1416 à

1 0 UUU près.

La formule qui donne le rayon est R = 1/ — ; nous avons à

effectuer un quotient, suivi d'une racine carrée. Considérons d'abord

le quotient — que nous remplaçons par —7; d'après la formule (6),

Terreur sur ce quotient est

arrondissons dans le second membre les valeurs de S et de tu; substituons à la première le nombre plus grand 150 et à la seconde, le nombre plus petit 3 ; ce second membre ne peut qu'augmenter ; nous obtenons de cette façon pour sa limite supérieure la valeur

1 i iSO 3 100 9

Divisons S' par 7:' et conservons trois chiffres décimaux, ce qui donne comme résultat 39,333 ; la suppression des chiffres décimaux suivants nous fournit une nouvelle erreur inférieure à un millième ; l'erreur totale est donc inférieure à 6 millièmes.

Prenons maintenant la racine carrée du nombre 39,333 ; d'après la formule (7), l'erreur de la racine sera

AR = — i— -A^ •

en prenant sous le radical le nombre 36 à la place de — » on voit que

TZ l'A II

le second membre a pour limite supérieure -nr'-rKKK ^^ T Tââ77'

IJ 1 UUu â 1 UUU

si de plus on calcule v^39,333 avec 4 chiffres décimaux, la nouvelle

{ erreur commise est inférieure à î Terreur totale est donc infé-

rieure à

La racine ainsi calculée étant 6,2716, on voit que R est compris entre 6,2710 et 6,2722.

FORMULE DE TAYLOR (FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLEs) 219

177. Deuxième problème. — Les données d'-un calcul numérique étant entièrement connues ou susceptibles d'être déterminées avec autant de décimales que Von veut, 6n demande le nombre de décimales quil suffit de conserver dans ces données pour que Verreur du résultat du calcul effectué avec les valeurs approchées soit inférieure à un nombre donné.

Ordinairement, on demande que le résultat du calcul soit obtenu avec une erreur inférieure à une unité d'un certain ordre décimal. Comme nous Tavons déjà remarqué, cette erreur se compose de deux parties qui s'ajoutent généralement. Tune provenant de la substitution de nombres approchés aux données exactes, fautre provenant de la suppression des chiffres décimaux dépassant un certain rang dans les résultats des calculs successifs ; si nous appelons respectivement AiN et A2N les limites supérieures de ces erreurs, nous devons choisir ces limites de façon que leur somme soit inférieure au nombre donné.

La première partie AjN est fournie par la formule (3) ; cette formule permet, lorsqu'on se donne A,N, de déterminer les limites supérieures Aa, \bj Ac des erreurs dont peuvent être affectées les données; pratiquement, on arrondit les données a, b,c de façon à augmenter les valeurs absolues des dérivées qui entrent au second membre de la formule. Lorsqu'on a ainsi trouvé Aa, A6, Ac, on opère avec les valeurs approchées a',b',c' différant de a,b,c de moins de ces quantités, et Ton conserve dans les résultats assez de chiffres décimaux pour que la nouvelle erreur soit inférieure à la seconde limite A2N.

Ordinairement, on décompose le calcul total en une suite de calculs simples portant soit sur une somme, soit sur un produit ou un quotient de deux nombres, soit sur la racine d'un nombre ; on emploie alors pour chacun de ces calculs les formules (4), (5), (6) et (7).

Exemple. — Soit à calculer à un centième près le nombre

N est d'abord la racine d'un nombre que nous désignerons par a ; nous décomposerons l'erreur totale AN en deux parties AjN et A2N chacune égale à un demi-centième et nous emploierons la formule (7) en prenant le premier membre égal à AiN ; un calcul grossier montre que a est

un peu supérieur à 1 ; par suite, — -=. est inférieur à — » et il suffît

alors de prendre — Aa = — • -rr^ ou Aa =

Ensuite a est un quotient ; appelons h le numérateur et c le

dénominateur ; nous poserons ^^a et L^ égaux à un demi-centième

et nous emploierons la formule (6), qui devient dans le cas actuel,

Aja = — Aé H — r Ac ;

comme c est supérieur à 3 et 6 inférieur à 4, le second membre

est inférieur à — A6 -h — Ac, et en prenant Ai et Ac égaux à

2 millièmes, nous sommes certains que le second membre est inférieur à un demi-centième.

Nous sommes conduits de cette façon à prendre pour v^3 et v^d des valeurs approchées à 1 millième près, afin que leur somme soit approchée à 2 millièmes ; nous prendrons alors pour ces radicaux les valeurs 1,732 et 2,236; là somme de ces valeurs approchées, que nous désignerons par h\ est 3,968. Nous prendrons ensuite c, c'està-dire ir, avec 3 chiffres décimaux exacts, et la valeur approchée de c

sera c' = 3,141. Avec ces données, nous calculerons le quotient — :

avec trois chiffres décimaux ; nous serons certains de cette façon que Terreur ^la provenant de la suppression des chiffres suivants sera inférieure à un demi-centième ; nous ancrons ainsi a' = 1,263.

Nous calculerons enfin la racine carrée de ce nombre d avec trois chiffres décimaux ; nous serons assurés de cette façon que A2N est inférieur à 1 millième; nous trouvons ainsi N' = 1,123. Si nous supprimons le dernier chiffre 3, nous commettons une erreur égale à

3 millièmes; en l'ajoutant aux précédentes dont les limites AiN et A2N ont pour valeurs 1 demi-centième et 1 millième, nous avons une somme égale à 9 millièmes ; nous voyons bien que AN est inférieur à 1 centième; finalement, le résultat cherché est 1,12 à 1 centième près.