CHAPITRE X

MAXIMÂ ET MINIMÂ

i78. Maxiina et mlnima d*ane fonction d'une variable. — Nous avons montré dans le chapitre II comment la recherche des maxima et minima d'une fonction f{x) résulte de l'étude de la dérivée de cette fonction ; nous allons montrer qu'elle peut se faire aussi au moyen de la formule de Taylor dans tout intervalle où cette formule est applicable.

Nous avons dit que la fonction f{x) passe par un maximum pour x = Xo si /(jco) est supérieur aux valeurs voisines /"( Jq -^ h) pour les valeurs de h positives ou négatives suffisamment petites en valeur absolue ; elle passe par un minimum si /"(xq) est inférieur à /*(xo -h h) dans les mêmes conditions. Écrivons la formule de Taylor

f[x, -h h)- f{x„) = hf'{x,) 4- -j^ /-'(xo) + • • • ;

pour h très petit, le second membre a le signe de son premier terme ; si /"'(Jo) n'est pas nul, ce terme est tantôt positif, tantôt négatif, suivant le signe de h, le premier membre n'a pas un signe constant, et il n'y a ni maximum ni minimum pour Xq . Nous arrivons ainsi à cette conclusion qu'il ne peut y avoir maximum ou minimum pour x = Xq que si cette valeur annule la dérivée f'[x) ; nous sommes amenés à chercher les racines de l'équation f'{x) = 0.

Soit Xo une de ces racines; en général, /""(xq) est différent de zéro; si cela a lieu, le second membre a toujours pour h très petit le signe de fixo) puisque A* est positif ; par suite, si la dérivée /""(xq) est négative, on a, quel que soit le signe de la quantité suffisamment petite A,

/•(xo-f-A)</'(xo),

et il y a maximum pour Xq ; si au contraire /""(xq) est positive, on

a l'inégalité

fixo-hh)>f{xo).

et il y a minimum pour Xq .

Il peut arriver que Xq, racine de Téquation /''(x)=0, annule la dérivée seconde f'ix) ; supposons en général qu'elle annule les dérivées jusqu'à /*^"~*^(x) et n'annule pas f^'*\x) ; par des raisonnements analogues aux précédents, on verrait que si n est impair, il n'y a ni maximum ni minimum pour Xq ; si n est pair, et si f^'*Hx^i) est négative, il y a maximum pour Xq ; si au contraire /*^"^(xo) est positive, il y a minimum pour Xq.

179. Maxlma et mlnlraa d*une fonction de plusieurs variables.

— Les mêmes considérations s'appliquent aux fonctions de plusieurs variables dans les intervalles où la formule de Taylor est applicable.

Considérons une fonction de deux variables f(x , y) ; on dit qu'elle passe par un maximum pour (xq, yo) si l'on a

fi^o, yo) > f[^ -^h, yo-hk),

pour h et k suffisamment petits, aussi bien positifs que négatifs ; on dit qu'elle passe par un minimum pour les mêmes valeurs si l'on a

f{xQ , yo) < f{xo -h /i, yo-hk)

dans les mêmes conditions.

Écrivons la formule de Taylor (n° 173) :

f(xo -hh,yo-hk) — f{xo , yo) = hfl^ -+- kf;^

m:,.^2hkf:^.^^k%\.)

pour h et A* très petits, le second membre a le signe de l'ensemble de ses termes de plus bas degré ; si fj^^ et fy^ ne sont pas tous les deux nuls, la somme ^/jî^ -\- kfy^ a des signes contraires lorsque Ton donne à A et k des systèmes de valeurs de signes contraires, par conséquent le second membre n'a pas un signe constant, il ne peut y avoir ni maximum ni minimum; nous pouvons donc énoncer ce résultat.

Pour qu'une fonclion f[x, y) passe par un maximum ou un

MAXIMÂ ET MINIMA 223

minimum pour un système de valeurs Xq, j/o.« *^ A'w^ que ces valeurs annulent les deux dérivées du premier ordre, c*est'à-dire satisfassent aux équations

En résolvant ces équations, on aura un ou plusieurs couples de valeurs tels que (xq, yo), mais à chacun d'eux ne correspond pas toujours un maximum ou un minimum; pour le reconnaître, considérons la formule de Taylor qui prend alors la forme

( i) /(xo + A , y, -H A) - f{xo , y,) = I ( ay;.. + 2hkr.^, + k%:,) + • . .

et supposons que les trois dérivées du second ordre ne soient pas nulles en même temps pour (xq, y^ ; le second membre a le signe des termes du second degré pour ^ et A; très petits, c'est-à-dire le signe du trinôme

(2) (-|-)Vx.. + 2A/;'^^ + /;

Si ce trinôme a ses racines réelles, c'est-à-dire si /ÏJy^ — A*/?o« > ^ » il est tantôt positif, tantôt négatif suivant que la valeur de - - est comprise ou non entre les racines ; par suite le premier membre de (l) n'a pas un signe constant et là fonction f[xyy) n' a ni maximum ni minimum pour le système (xci/o)- Si le trinôme (2) a ses racines imaginaires, c'est-à-dire si Z*,^^ — AV/Zo* <^ ^ » ^^ ^ toujours le signe de son premier terme, c'est-à-dire celui de /*J^t ; on voit alors que si ce coefficient est négatif, le premier membre de (i) est toujours négatif pour les différentes valeurs suffisamment petites de h et k, et f[x, y) passe par un maximum pour le système (aro, ^o) ; si, au contraire, fi^t est positif, le premier membre de (1) est toujours positif dans les mêmes conditions, et f[x,y) passe par un minimum pour le système (j^q, t/o).

Lorsque les racines du trinôme (2) sont égales, ou lorsque Xo,yo annulent les trois dérivées secondes de f[x, y), il est nécessaire de considérer dans la formule de Taylor les termes qui suivent ceux du second degré, mais nous n'entrerons pas dans le détail de cette recherche.