Remarque. — Les deux équations

fL=(i, /•;=o

expriment ce fait que la différentielle totale f^ dx -h fy dy de la fonction donnée est identiquement nulle ; et réciproquement, lorsqu'on annule la différentielle totale de f{x,y)y cela revient à écrire que les dérivées partielles de cette fonction sont nulles séparément. Cette remarque est utile lorsque f est une fonction composée ou bien lorsqu'elle dépend d'autres variables liées aux premières par des équations données ; le calcul de la différentielle totale est alors souvent plus simple que celui des dérivées partielles.

Exemple. — Soit à trouver le maximum d'un produit

f=xyz

de trois facteurs dont la somme est constante et positive et a pour

valeur

si nous tirons z de la dernière équation, et si nous portons dans / la valeur obtenue, nous avons la fonction de deux variables indépendantes

f=xy{a — x — y)

dont nous devons trouver le maximum ou le minimum.

En annulant les dérivées fx et fy, nous avons les deux équations

fL-y{a X

y) xy—0,

y) xy-Q,

qui ont comme solutions

3** X = 0,y =^a, Les dérivées secondes sont

la première solution x = y = ~ donne à ces dérivées les valeurs

l^ 7 de sorte que Plr, — fx4L* ^st égal à — ^

MAXEMA ET MIMMA

et est négatif; fî^% est aussi négatiT; la Ton cti on passe maximum ; remarquons que dans ce cas, on a x = ^ = : trois Tacteursdu produit sont égaux.

Les autres solutions rendent /ï',, — A',t/?1.* positif, t pas lieu h, un maximum ou à un minimum.

En utilisant la remarque que nous avons faite sur la totale, nous serions arrivés plus rapidement anx valeurs d. annulant les dérivées premières ; nous avons en elTet, quel nature de x, y, %,

df=: yz dx + zxdy + xy dz ;

d'autre part, la somme x + y + z étant constante, a une totale nulle, ce qui donne

dx-\-dy + dz = 0;

en éliminant dz entre les deux relations précédentes, noi

<//"= Cv= — ^y)''-' + (=-p — ^)<'i'- Il suflit d'écrire que df est identiquement nulle que les coefficients de dx et de dy sont nuls séparément, les deux équations

yz — xy=0, zx — xy=ii,

fournissant les valeurs de x, y, s pour lesquelles il maximum ou minimum ; en laissant de côté le cas où l'ui des variables sont nulles, il reste la solution x^y = z, que nous avons trouvée.

VocT. — Math. sup.