CHAPITRE I DES IMAGINAIRES
181. Délinltlon el représentallon des imaginaires. — On nombre imaginaire ou nombre complexe une expression de I a-<nbi, où n et b sont des nombres algébriques, positifs ou i et où I est un symbole particulier; <lans les calculs sur les i imaginaires, on doit traiter ce symbole comme une variable ani X ou y, avec cette condition que le carré de i peut être r par — 1 partout oii il se présente. C'est pour cette raison qu souvent appelé la racine de — I et représenté par ^ — 1 .
Les nombres algébriques ordinaires sont dits réels, par op aux nombres imaginaires dont ils ne sont du reste qu'un cas par \\n nombre de la forme hi est dit imaginaire pur, do sorte que peut être considéré comme la réunion d'un nombre réel « nombre imaginaire pur hi.
Deux nombres a-\-hi et a — bi qui ont même partie dont les coefficients de i sont égaux et de signes contraires ? imaginaires conjugués.
On représente le nombre a h bi par un point M d'un p les coordonnées rectangulaires sont a et b (lig, i(\): les i
réels sont d'après cela représentés par les points de Taxe x'a?, les
nombres imaginaires purs par ceux de Taxe y' y.
Le point M peut être déterminé par ses coordonnées polaires
p et 0; nous convenons dans la théorie actuelle de considérer ^
comme une quantité essentiellement positive ; elle est égale à
Fig. 46.
p = longueur OM = -h ^à^ -h 6^,
et on rappelle le module du nombre a -\- bi\ l'angle polaire 6 , qui est égal à Tun des angles (Ox, OM), est appelé argument de ce nombre imaginaire; il n'est déterminé qu'à un multiple près de 2i: .
Comme on a
a = p cos 6 , fc = p sin ô ,
on peut écrire le nombre a -h bi sous la forme
(1) a-h bi= pfcosôH- isinô),
qui met en évidence le module et largument; le nombre conjugué du précédent est égal à
a — bi = p(cos Ô — i sin 6) ;
ces deux nombres ont même module, et Ton peut toujours supposer que leurs arguments sont égaux et de signes contraires.
182. Opérations sur les imaginaires. — Nous avons dit que ron doit traiter le symbole i comme une variable algébrique dont on peut remplacer le carré par — 1 ; on est ainsi amené aux définitions suivantes :
1° On dit que a-{-bi est nul si a et fc sont nuls séparément; on peut remarquer que pour qu'un nombre soit nul, il faut et il suffit que son module le soit; le point représentatif est alors confondu avec l'origine.
2** On dit que deux nombres a -+- bi et a' -+- b'i sont égaux si l'on a séparément a = a' et b = b'\ on peut remarquer que pour que deux nombres soient égaux, il faut et il suffit que leurs modules
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soient égaux et que leurs arguments difTèrent de 2kiz , k étant un entier positif ou négatif; les points représentatifs sont alors confondus.
3" On fait la somme de deux imaginaires en additionnant les parties réelles d'une part, et les coefficients de i d'autre part, c'està-dire en posant
{a -h bi) -h {a' -\- b'i) = [a --h a') -h (b-h b')i.
En employant la représentation géométrique, on voit que la somme
des imaginaires représentées par deux points M et M' {fig. 47) est elle-même représentée par l'extrémité M" de la somme géométrique des segments OM et OM' (n° 74) ; cette remarque s'étend à la somme d'un nombre quelconque de nombres.
4° Le produit de deux nombres est Y^^„ ^^ donné par la règle ordinaire de- multi-
plication des polynômes algébriques :
(a -h bC] {a' H- b'i) = an' -+- ab'i~\-ba'i + bb'i^ ;
si Ton y remplace i^ par — 1 , on a
(2) [a -+- 6/*) ia' -h b'i) = \na' — bb') -\- [ab' -h ba']i.
En particulier, le produit de deux nombres imaginaires conjugués est
[a-^bi){a — bi)=(r'^b^\
il est réel et égal au carré du module de l'un ou de l'autre nombre.
Vi"* Les produits et les puissances d'un nombre quelconque de facteurs sont donnés par les règles ordinaires de la multiplication algébrique et donnent lieu aux mêmes remarques que lorsque les facteurs sont réels; par exemple, on peut intervertir d'une manière quelconque Tordre des facteurs, on peut remplacer plusieurs d'entre eux par leur produit efîeclué; pour qu'un produit de plusieurs facteurs soit nul, il faut et il suffit que l'un des facteurs soit nul, etc.
En particulier, les puissances sucessives du nombre i sont
1 = /, i«=— 1, i^ = i^xi= — i, i^ = {i^-f = -^\^ i^ = (i^)i=i, ... ; elles se reproduisent dans le même ordre de quatre en quatre.
6° Pour diviser deux nombres Tun par Tautre et mettre le quotient sous la forme a + bi, il est commode de multiplier ces deux nombres par la quantité conjuguée du dénominateur et d'effectuer les produits indiqués; on a de cette façon
a-hbi {a -+- bi) {a' — b'i) {aa' ~h bb') -h (ba' — aby a' H- b'i ~ (a' -h b'i) [a' — b'i) ~ a'« -hb'^
Remarque. — On voit que le résultat d'un certain nombre d'opérations : addition, soustraction, multiplication, division, effectuées sur des nombres de la forme a + bi peut toujours être ramené à la même forme A ~\-Bi, A et B étant réels. Remarquons que si Ton effectue une même suite d'opérations, d'une part sur certains nombres donnés, d'autre part sur leurs conjugués, les deux résultats sont conjugués, et sont de la forme A-hBi et A — Bi; on peut en effet le vérifier pour chaque opération élémentaire, et c'est encore vrai par un nombre quelconque d'opérations successives.
183. Équation du second degré. — Nous avons vu que la somme de deux carrés de nombres réels a^ -h b- est égale au produit de deux nombres imaginaires conjugués a-\^-bi et a — bi\ nous allons déduire de là que toute équation du second degré à coefficients réels, lorsqu'elle n'a pas de racine réelle, est satisfaite par deux nombres imaginaires conjugués.
Considérons en effet l'équation du. second degré écrite sous la forme
lorsque ^ q est négatif, le premier membre peut se mettre sous
la forme d'une somme de deux carrés
x-^-px-^q = yx-^lÇ^\-Lj q-^\ ;
le second membre peut être décomposé en deux facteurs imaginaires conjugués, et l'on a
x^+px + q=(x + ^-iyJq-^^(^x + ^+i^q-£^y
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Pour que le produit des deux facteurs du second membre soit nul, il faut et il suffît que Tun des facteurs soit nul, c'est-à-dire que x soit égal à Tun des deux nombres imaginaires conjugués compris dans la formule
ces nombres sont donc les deux racines de l'équation.
En partant de ce résultat, on peut dire que toute équation du second degré à coefficients réels a deux racines soit réelles et distinctes, soit réelles et égales, soit imaginaires conjuguées.
184. Formule de Moivre. — Le produit et le quotient de quantités imaginaires prennent une forme simple lorsqu'on met en évidence le module et l'argument. Si l'on considère le produit de deux nombres mis sous la forme (i), on a d'après la formule (2),
p(cos h-\-i sin ô)p'(cos 6' -\- i sin ô')
= ppX^os 0 cos 6' — sin 0 sin 0' -l- «(sin 0 cos 6' H- sin 6' cos 6)]
• = pp'[cos (6 H- 6') -+- i sin (ô -h Ô')].
On voit que le produit de deux imaginaires a un module égal au produit des modules et un argument égal à la somme des arguments des deux fadeurs.
Deux nombres conjugués ayant même module, et des arguments égaux et de signes contraires ont, d'après cela, un produit réel et égal au carré du module de l'un d'eux, comme nous l'avons déjà constaté.
De même, le quotient de deux imaginaires a un module égal au qtiotient des modules et un argument égal à la différence des argumen's du dividende et du diinseur.
La règle que nous venons de donner pour le produit de deux nombres s'étend de proche en proche à un nombre quelconque de facteurs ; si les facteurs sont égaux et en nombre m, on voit que la puissance m' du nombre p (cos ^ -^ i sin ô) a pour module la puissance rn' du module p et par argument m fois l'argument 6 ; elle est égale à p^fcos mô H- i sin mô). En particulier, si p est égal à l'unité, on a la formule suivante, connue sous le nom de formule de Moivre :
(3) [cos 6 -h i sin 6]*" = cos mQ + i sin m6 .
185. Multiplication des arcs. — Si Ton développe le premier membre de cette relation par la formule du binôme, il a pour valeur
cos*" 6 + -T- 1 cos""-* ô sm 0 H -r—z — - 1^ cos'"-^ Ô sm^ 6 -h • • • ;
si l'on y remplace les puissances i^, i', . . . par — 1, — *, . . . (n° 182,5°) et si Ton réunit les parties réelles d'une part et les parties purement imaginaires d'autre part, on met le résultat sous la forme A -+- B*, A et B étant réels ; en l'égalant alors au second membre, on doit égaler d'une part les parties réelles, et d'autre part les coefficients de i ; on obtient ainsi les deux formules suivantes :
/f\ A -A mini — 1) „ i» A • OA
(4) cos mô = cos*" 6 ~ir~^ — cos*""^ 6 sm* 6
. mim — \){m — 2)(m — 3) „ ia • ia
H ^^ !\ „ .'^ cos*"-* 6 sm* e — ■ • • ,
(5) sm mO = -T- cos*"""* 6 sm ô Tir^ cos"""^ 6 sm' 6
, mim — 1) ... (m — 4) „ sa • iîa
H ^^ r-;^ ^— ^ cos""'* ô sm* ô — • • • .
, Ce sont les formules de multiplication des arcs, donnant le sinus et le cosinus de l'arc mô en fonction du sinus et du cosinus de 6.
En les divisant l'une par l'autre, et divisant les deux seconds membres par cos*" 6 , on obtient la formule donnant tg mô en fonction de tg 6 ; elle est
(6) tgmO = -i ^-^"^
m{m — 1) . OA ■ 1 — — tg* 6 H- . . •
En particulier, pour m ^3, on a
(7) cos 30 = cos^ 0 — 3 cos 6 sin* 6 = 4 cos' 6 — 3 cos Ô ,
(8) sin 36 = 3 cos^ 0 sin 6 — sin' 6 = 3 sin 6 — 4 sin' Ô ,
