Division des arcs. — Cos — Proposons-nous d'abord de

calculer cos — connaissant cos 6 ; la question peut être résolue de

deux manières, soit numériquement au moyen des tables, soit algébriquement.

Dans la première méthode, on commence par calculer au moyen des tables Tare compris entre 0 et ir ayant pour cosinus le cosinus donné, celui-ci étant supposé compris entre — 1 et -h 1 ; si Oo est cet arc, on sait que tous ceux qui ont même cosinus sont compris dans

la formule

e = 2A:Ttit:eo,

k étant un entier quelconque ; leur m* partie a pour valeur

b 2kit L 60

et la valeur cherchée pour cos — est donnée par la formule générale

= cos ( ± -^ )

cos — m

Bien que k doive prendre toutes les valeurs entières de — 00 à 00 , le second membre n'a que m valeurs distinctes, obtenues en donnant à k les valeurs 0,1,2, ... , m — 1 , et en prenant le signe -f-

devant -^; ces valeurs sont:

(10) COS-^ï COS( 1 )ï ••• » cosl-^^ — I — ^|.

m \m m J \ m /nj

En effet, si l'on considère d'abord un arc — 1 — --> et si /c est

négatif ou supérieur à m — 1 , cette valeur de k diffère de l'un des nombres 0, 1, . . . , m — 1 par un multiple de m; les arcs correspondants diffèrent par un multiple entier de 2-k et ont même cosinus ;

si l'on considère maintenant un arc de la forme — ^ on peut

récrire — 1 — — I — - \\ il esterai et de signe contraire à l'un

L m wi J

des arcs considérés précédemment et a le même cosinus que cet arc.

Il résulte de là que l'on a seulement m valeurs pour cos — 1 et

que ces valeurs numériques sont celles des m quantités (iO); on les

évalue numériquement au moyen des tables.

ô Pour déterminer cos — par la méthode algébrique, on utilise l'équa-

tion (4) ; on y remplace au second membre sin* 6 par 1 — cos' 6 , de manière à mettre ce second membre sous la forme d'un polynôme de

degré m en cos 6 ; on remplace enfin 6 par — dans les deux

membres. On obtient de cette façon une équation de degré m en

cos — ; ses m racines sont les m valeurs (10), dont nous avons dém

montré précédemment Texistence ; nous voyons par là que ces m racines sont réelles.

Dans la pratique, on ne cherche pas à résoudre algébriquement cette équation ; au contraire, on utilise le procédé de calcul trigonométrique que nous avons mentionné dans la première méthode, pour déterminer numériquement ses racines. Par exemple, Téquation

qui donne cos ~~ en fonction de cos 6 s'obtient en remplaçant 6 par -- dans Téquation (7) ; elle est

4 cos' -- — 3 cos — — cos 6 = 0;

on évalue les valeurs numériques de ses trois racines en calculant au moyen des tables les trois quantités

cos "Y '> cos

(f-l^)' Ht-\)

Oq étant un arc ayant pour cosinus le cosinus donné.