Sin — Proposons-nous de la même manière de calculer

sin — connaissant sin 0 . Par la méthode trigonométrique, nous calm

culerons au moyen des tables l'arc Ôq compris entre — — et -h -^

ayant pour sinus le sinus donné, celui-ci étant supposé compris entre — 1 et 4- i ; tous les arcs 0 sont alors compris dans les formules

0 = 2^7r -h 6o , Ô = (2A: -i- 1)7: — ôo ,

et leurs m** parties dans les formules

le sinus cherché est alors donné par l'une des deux formules générales

sin — = sm ( 1 — -\j sin — = sm ( -^^ ^ ^ ) •

Comme précédemment, on verrait que la première formule donne

seulement m valeurs pour sin — ^ i et qu'on les obtient en donnant

à k les valeurs 0, 1, 2, ... , (m — 1) ; ces valeurs sont

(H) sin^, sin(^"- + M sin [ ^'"' " '^^ + M ■

Je vais montrer que si m est impair, les sinus donnés par la deuxième formule sont égaux aux précédents ; supposons en effet que

Ton pose m = 2m' -4- i ; on vérifie que l'arc — ~ est le

supplément de ^ — H — ^ » et il a même sinus que lui ; les sinus

de la seconde série d'arcs sont alors les mêmes que ceux de la première série, et leurs valeurs sont celles de la suite (11); il existe donc seule-

ment m valeurs de sin

Si au contraire m est pair, les sinus de la seconde série d'arcs sont différents de ceux de la première; leurs valeurs sont au nombre de m ; elles sont égales, comme le montrerait un raisonnement analogue aux précédents, aux m quantités

(12) sin(^--^V sin(^— 'A ,i„r(2m-1V ^-|.

\m m / \ m ïïi / \ m m j

il existe donc dans le cas de m pair 2m valeurs de sin — » celles

des nombres des suites (11) et (12).

Pour déterminer sin — par la méthode algébrique, on utilise

Téquation (5); si m est impair, les puissances de cos 0 au second membre sont toutes paires, et l'on peut remplacer chaque fois cos^ 0 par 1 — sin*ô; on obtient de cette façon au second membre un po-

lynome de degré m en sin ô ; en remplaçant enfin aux deux mem-

bres 0 par — » on obtient une équation de degré m en sin — ;

les 771 racines sont les valeurs (il) et elles sont toutes réelles; leur calcul numérique s'effectue dans la pratique au moyen des tables par a méthode trigonométrique.

Si 771 est pair, les puissances de cos 6 au second membre de

réquation (5) sont toutes impaires ; si Ton forme le rapport — » il

ne renferme cette fois que des puissances paires de cosô et peut être mis, en remplaçant cos- ô par 1 — sin^ 6, sous forme d'un polynôme de degré m — 1 en sin 0. En élevant alors les deux membres

, ., sin^ 771 0 , . sin* 771O . ,

au carré, on voit que ; — ou bien -; 7-7— est un polynôme

cos^Ô 1 — sm^e

de degré 277i — 2 en sin 0, et Ton en déduit la valeur de sin* 7716 sous forme d'un polynôme de degré 277i en sin 6; il suffît de rem-

placer ô par — pour avoir une équation de degré 277i donnant

sin — en fonction de sin 6; les 277i racines de cette équation sont

les valeurs (H) et (12) ; nous voyons par là que ces 277i racines sont encore réelles.