CHAPITRE III

FORMULE on BINOME

17. Développement de [x H- a)*". — La formule du binôme est celle qui donne le développement d'une puissance entière quelconque de la somme de deux quantités, ordonné suivant les puissances croissantes ou décroissantes de Tune d'elles. Si on les représente par x et a, la formule donne le développement de [x-ha)'" ordonné suivant les puissances décroissantes de x.

Considérons d'abord le cas de m =2; on a

(x -f- a)'^ = x^-\- 2ax -h a'^ .

En multipliant les deux membres par x-ha et ordonnant, on a

[x -h ay = x^-h ^ax^ -h 3a^x -f- a^ . En multipliant encore par x-ha et ordonnant, on a de même

(x -h ay — x^ -f- ^ax^ -f- Ga-x* -h ia^x -h a* .

On pourrait continuer ainsi de proche en proche, mais il est préférable de chercher une loi de succession des coefficients; dans les exemples qui précèdent on vérifie la règle suivante :

Rôgle. — Pour écrire les termes successifs du développement d\ine puissance de x-\-a ordonné suivant les puissances décroissantes de Xy on commence par écrire x affecté d*un exposant égal à celui de la puissance considérée ; chacun des termes successifs se déduit ensuite de celui qui le précède en diminuant V exposant de

Sfi

COMPLÉMENTS d'aLGÈBRE

X (Tune unité, et augmentant celui de a d'une unité, puis en multipliant le coefficient numérique par l'ancien exposant de x et le divisant par le nouvel exposant de a.

Ainsi dans le cas de la puissance quatrième, cette règle donne comme développement de {x~\-aY

— ax^

aS

ce qui s'accorde bien avec celui que nous avons trouvé précédemment. Si la règle s'applique au cas de la puissance m' du binôme, elle doit conduire à la formule

{jc -h a)"* = x"» -+-

-j- ax'^i H —— — a'x""^ ■+- ~M~t~^ a^x^^ -h • • •

aPx'^-P

m(m — 1) fw — 2^ ... (in — p -h \)

mhn — \){m — 2) ... (m — p -^- i) (m — p) ^p^i^.^p i

mm — 1 \ (m — 2) . . . 2.1 1.2.3 ... [m — ]}m

dont le dernier terme «" a un coefficient égal à l'unité.

Pour démontrer qu'elle est exacte, nous employerons un mode de raisonnement fréquent en mathématiques ; nous démontrerons qu'en la supposant vraie pour l'exposant m, elle Test encore pour l'exposant m -h 1 ; comme elle se vérifie pour m = 2, elle sera vraie pour toutes les valeurs suivantes de l'exposant.

Supposons donc que la formule (1) soit exacte; multiplions les deux membres par x-ha, et ordonnons le produit effectué du second membre par cette somme ; nous aurons

m+l __ ^in-«-l

ax'" -+

mjm— \)(m — 2) 1.2.3

^3jjOT-J