Tg — . — Proposons-nous enfin de calculer tg — connais

sant tgO. Par la méthode trigonométrique, nous déterminerons au moyen des tables Tare % compris entre 0 et ?: ayant pour tangente la tangente donnée ; tous les arcs G sont compris dans la formule 6 = /ctt 4- Oq , et les tangentes de leurs 771*' parties sont comprises dans la formule générale

par un raisonnement analogue à ceux que nous avons déjà faits, nous verrions que le second membre a seulement 771 valeurs, obtenues en donnant à k les valeurs 0,1,2, ... , 771 — 1.

Par la méthode algébrique, on remplace dans l'équation (6) 0 par

et l'on a une équation de degré 771 en tg — ; ses 771 racines

sont les valeurs précédentes et sont toutes réelles.

• - rf^

189. Résolution de Féquatton binôme. — Considérons d'abord Téquation

et cherchons les nombres réels ou imaginaires qui peuvent y satisfaire. Supposons que x soit écrit sous la forme p(cos 6 -f- i sin Ô) ; d'après ce que nous avons dit (n'* 184), x"» est égal à p'"(cos mô -h i sin mô) ; son module est p" et son argument m9; pour que x" soitégalà Tunité, il faut et il suffit que Je module p*" soit égal à Tunité, et que l'argument mô soit égal à un multiple entier de 2w de la forme 2kTz, k étant un

entier quelconque, positif ou négatif. Nous en concluons que p = 1 et

2k'K ^ = — — » de sorte que les nombres x cherchés sont donnés par la

formule générale

x = cos

i sin

c'est l'expression générale des racines de l'équation binôme x*" — i = 0 . Les valeurs de x sont seulement au nombre de m distinctes, obtenues en donnant à k les valeurs 0,1,2, ... , [m — 1 ) ; la première est toujours réelle et égale à 1 . Si m est impair, toutes les autres sont imaginaires; si m est pair, il existe une seconde

racine réelle égale à — 1 , obtenue en faisant /c = -— » et les autres

ml

racines sont imaginaires ; les m racines (13) sont dites les racines m" de l'unité.

Si l'on sait résoudre l'équation binôme par les méthodes de l'algèbre, et si l'on met ses racines sous la forme a-hbi, les nombres

2kT:

et de

fil

a et 6 sont, d'après la formule (13), les valeurs de cos

2k'ît

sin ; la comparaison des deux méthodes fournit ainsi un procédé

de calcul de ces lignes trigonométriques.

Considérons par exemple l'équation x^ — 1=0; elle se décompose en deux autres, en écrivant

ses trois racines sont

les deux dernières, qui sont imaginaires conjuguées, sont appelées les racines cubiques imaginaires de l'unité ; on vérifierait facilement qu'elles

sont égales à cos ^ -f- 1 sin ^ et à cos -^ -h i sin — en utilisant

les valeurs des sinus et des cosinus de — et de — -; d autre part, la remarque que nous avons faite fournit inversement les valeurs de cos — 1 sin ^ 7 cos — ^ et sin — lorsqu'on a résolu algébriquement Téquation x^ — 1=0.