Considérons maintenant Téquation générale
où A est un nombre quelconque réel ou imaginaire ; ses racines sont appelées racines m" algébriques de A , et l'une quelconque d'entre
elles est représentée par y A .
Si A est donné sous la forme r(cos a -h i sin a) , on voit déjà, d'après le n° 184, que le nombre
yr ( cos h i sin — )
où yr désigne la valeur arithmétique du radical, satisfait à l'équation ; pour trouver les autres, posons x = Xqx'; x' sera alors donné par l'équation x'*" = 1 , et il aura m valeurs fournies par la formule (i 3). Nous voyons ainsi qu'il existe m racines m" algébriques d'un nombre ; on les obtient en multipliant l'une d'elles par les m racines m" de l'unité.
Si l'on donne par exemple un nombre réel A, et si l'on représente
par v^A sa racine cubique réelle, ses trois racines cubiques algébriques sont, d'après ce que nous avons dit au n° précédent,
191. Relations d'Euler. — 11 existe une relation remarquable entre la fonction exponentielle et les fonctions trigonométriques. Considérons la série qui sert à définir e^:
et supposons qu'on y remplace x par ix; nous allons montrer que la somme des n premiers termes a une limite, et calculer cette limite.
En remplaçant partout où c'est possible i* par — 1 , et séparant la partie réelle de la partie imaginaire, nous mettrons la somme des n premiers termes de la série formée avec ix sous la forme
mais les parenthèses sont les premiers termes des développements en série de cos x et de sin x (n° 147) ; la quantité précédente a donc une limite, et cette limite est égale à cos a; -h i sinx.
En convenant de représenter la somme de la série ainsi obtenue par &*, nous avons la relation fondamentale d'Euler,
(14) c'* = cos X -+- 1 sin X ;
supposons qu'on change i en — i ; nous aurons
e~'* = cos X — I sin x ;
par addition et soustraction, nous en déduirons
g«* l g— IX pix p— «X
(15) cosx = » sinx = — :
Remarquons que la relation (14) nous permet d'écrire une quantité imaginaire p(cos 6 -h i sin 6) sous la forme pe'*.
Supposons plus généralement que Ton remplace dans la série e" œ par un nombre quelconque de la forme x H- ry, x et y étant réels ; nous allons montrer que la somme des n premiers termes a une limite, et la déterminer ; nous la représenterons par le symbole e*+'*.
Si nous nous reportons en effet à la démonstration du théorème du n® 45, nous voyons qu'elle s'applique sans grande modifîcation au cas où y est remplacé par iy ; elle nous montre que les n premiers termes de la série e*"*"^ ont une limite, et que cette limite est égale au produit des deux séries e' et e'^ ; nous aurons donc
,x + iy
OU, en remplaçant e'^ par sa valeur,
(16) e'-^'y = e*(cos y -¥- i sin y).
192. Calcul de cos*" 6 et de sin" ô . — On a souvent besoin d'évaluer cos'"Ô et sin'"0 en fonction linéaire des lignes trigonomé triques, cosinus et sinus de 0 et de ses multiples ; c'est ainsi que Ton a
2 cos* e = 1 -h cos 28 , 2 sin^ ô = 1 — cos 28 ;
on a de même, d'après les formules (7) et (8),
4 cos^ 8 = cos 38 -h 3 cos 8 , 4 sin^ 8 = 3 sin 0 — sin 38 .
Une méthode générale consiste à utiliser les formules de transformation d'une somme ou d'une différence de sinus et de cosinus en un produit ; elles permettent inversement d'évaluer un produit sous forme linéaire, de la façon suivante :
2 sin a sin 6 = cos (a — b) — cos (a -h 6) , 2 sin a cos b = sin [a -f- b) -f- sin {a — é) , 2 cos a cos b = cos {a-hb)-h cos {a — b);
elles permettent alors d'évaluer de proche en proche un produit d'un nombre quelconque de sinus ou de cosinus sous forme linéaire.
Pour calculer rapidement cos"* 8 et sin*" 8 , nous emploierons une autre méthode et nous utiliserons les relations (15) ; écrivons la première sous la forme
2 cos 8 = e*' -h e^'\
et élevons les deux membres à la puissance m ; nous aurons
(17) 2'" cos*" 8 == (e' *' -h e-'Y
en réunissant les termes équidistants des extrêmes, dont les exposants sont égaux et de signes contraires, et en utilisant la relation (14), nous aurons, après division par 2,
(18) 2*"-* cos»" 8 = cos mb -h ^ cos {m — 2)8
, mim — 1) , ... ,
-4 ^^7— T — - cos (m — 4)8 -f-
il faut remarquer toutefois que si m est pair, il existe au milieu du second membre de la relation (18) un terme constant qui est le coefficient de cosO ; ce coefficient, dans le second membre de la formule finale, doit être divisé par 2 .
De la même manière, en partant de la relation
2/sinO = e''~e^'\
et opérant comme précédemment, nous obtiendrons, si m est impair.
(-i)2 2*^» sin"» 6 = sin mô —
sin (m — 2)6
-f- — ^— — ^ sm [m — 4)0
m • «ri
et si m est pair.
(— 1 Y 2*"-* sin»" ô = cos me — ^ cos [m — 2)0
, rn(m — 1) , .w
-^ —. — ;^ — cos (m — 4)0 —
nous devons toutefois observer, comme dans la formule (18), que le coefficient de cosO au dernier terme doit être divisé par 2 .
Xiu.i. — Math. snp.
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