CHAPITRE II

193. Nombre des racines. — Soit une équation algébrique de degré m,

f[x) = AoX"* -4- Aij;

-hA„^lX-h\m = 0,

dont les coerficients sont des nombres réels ou imaginaires de la forme fl-h6t ; il résulte d'une proposition énoncée par d'Alembert, et que nous ne démontrerons pas, que le premier membre de Téquation devient nul au moins pour une valeur de la variable, réelle ou imaginaire de la forme a -\- bi ; une telle valeur s'appelle une racine de Téquation.

Si Xi est racine, f[x) est divisible par x — Xj, et l'on peut poser, en elTectuant la division,

/•(x) = ix — X,) (p(x) ;

t^[x) est un polynôme de degré m — 1 à coefficients réels ou imaginaires, dont le premier terme est k^x'^^K

D'après la même proposition, cp(x) a au moins une racine ; si x-i est une telle racine, o(x) est divisible par [x — Xj) ; en appelant ^[x] le quotient, on peut écrire

^[x) = {x — X2)'}f[x), et l'on en déduira

•}( jr) étant de degré m — 2 , et ayant AqX""^ comme terme de degré m — 2. On peut continuer de la même manière, et l'on arrive à décomposer le polynôme f[x) en un produit de m facteurs du premier degré sous la forme

(2) /'(x) = Ao(x — x,)(x — Xi) ... (x — x„),

Aq étant le coefficient de x"* dans le polynôme (i).

La relation (2) montre que f[x) s'annule pour m valeurs de x, égales à X|, X2, ... , X;„ et qu'il ne peut s'annuler pour d'autres valeurs ; on arrive ainsi à cette conclusion :

Théorème I. — Une équation algébrique de degré m a m racines.

194. Relations entre les coefficients et les racines. — Les valeurs de f{x) fournies par les équations (i) et (2) doivent être identiques ; le développement du produit

^X -~- X| j(X — Xj) ... (X — Xjnj

ordonné suivant les puissances décroissantes de x doit alors être identique au polynôme

Aq Aq Aq

Or, on a

(x Xi)(x Xi) == X^ (X| -f- X2)X -h X,X2,

(x X,)(X X2)(X X3) = X^ (Xi -h X2 -f- X^jX^

-{-- (XjXg H- X1X3 -f- X2X3)X X 1X2X2 ,

et ainsi de suite ; il est facile de voir que l'on a en général pour m facteurs

(4) (x — Xi)(x — X2) ... (x — x„) = x"' — (2xiW"~*

le coefficient de x*""^* étant la somme des racines changée de signe, celui de x"*~*, la somme des produits deux à deux, celui de x'"^^, la somme changée de signe des produits trois à trois, etc., le terme constant étant enfin le produit des racines avec le signe -h si m est pair, et le signe — si m est impair ; on vérifierait en effet que si Tégalité (i) a lieu pour un produit de m facteurs, elle a encore lieu pour un produit de m-{-{ facteurs. En écrivant que le polynôme (3) et le second membre de Téquation (4) sont identiques et ont par suite les mêmes coefficients, on obtient les relations

THÉORIE DES ÉQI'ATIONS

ZXi — —

Ao

Ces relations donnent, au moyen des coefficients, la somme des racines, la somme de leurs produits deux à deux, trois à trois, et ainsi de suite jusqu'à leur produit ; elles sont la généralisation des relations entre les coefficients et les racines démontrées dans le cas d'une équation du second degré.

Par exemple, les racines de l'équation du troisième degré

x^ -h px -h q = (^ étant désignées par Xi , x^ et x^ , on a j-, -h X2 -h- j:'3 = 0 , XiXi -f- XiXi -4- XiXz = p, XiXiX^ — — q.

195. Racines multiples. — Il peut arriver que plusieurs des nombres a-i, ^2, ... x„ soient égaux; si p d'entre eux sont égaux à a^i , on dit que Xi est une racine multiple d'ordre p de Téquation donnée. En réunissant dans le second membre de la relation (2) les facteurs identiques, on a la forme générale suivante de décomposition de f{x) en facteurs linéaires :

(5) f{x) = A^{x — Xi)P{x — Xî)^ . . . ,

Xi étant racine multiple d'ordre /), X2 d'ordre q, etcl Une racine d'ordre i est dite racine simple, une racine d'ordre 2 est dite double, etc.

Théorème II. — La condition nécessaire et suffisante pour qu^ une racine Xi de Véquation f[x) = 0 soit d'ordre p de multiplicité est quelle annule le polynôme f[x) et ses p — 1 premières déril'éeSy sans annuler la dérivée d^ ordre p.

Pour le démontrer, appliquons la formule de Taylor (n° 130) à la fonction f{x) et développons-la suivant les puissances de x — Xi ; on a, en faisant b = Xy a = x,,

/•(x) = /-(xO-i-- Y--V'(^.)

pour que Xi soit une racine multiple d'ordre /), Il faut et il suffit que Ton puisse mettre {x — XiY en facteur dans le polynôme fix] ; pour que cela ait lieu, il faut et il suffit que les premiers termes du second membre de la relation précédente aient leurs coefficients nuls jusqu'à celui du terme de degré p — 1 inclusivement, c'est-à-dire que Ton ait

/•(xO = 0, f'{x,) = 0, . . . , f^'\x,) = 0,

et, de plus, que la dérivée d'ordre p, f^\xi)^ ne soit pas nulle, ce qu'il fallait démontrer.

Exemple, — L'équation

admet la racine i ; on vérifie que cette racine annule le premier membre et ses deux premières dérivées sans annuler la troisième ; par conséquent, elle est racine triple.

Comme la somme des quatre racines est égale à 5, et que trois d'entre elles ont pour valeur 1 , la quatrième est égale à 2.

Remarque. — L'énoncé du théorème que nous venons de démontrer pour une équation algébrique sert de définition à ce que l'on doit entendre par ordre de multiplicité d'une racine d'une équation transcendante. Soit par exemple l'équation

X — sin X ^= 0,

qui admet pour racine 0; les deux premières dérivées du premier membre s'annulent pour x^=0, et la troisième ne s'annule pas; on dit alors que la racine est d'ordre de multiplicité .3 .

Il résulte de là que si l'on développe le premier membre d'une équation algébrique ou transrendante par la formule de Taylor suivant les puissances de x — x, , xi étant une racine multiple d'ordre p, on peut affirmer que le développement conïmence par un terme de degré p.

196. Équations à coellicients réels. - - Supposons qu'uno écpiation algébrique telle que (1) ait ses coefficients réels, et qu'elle admette une racine imaginaire a {-fi/, d'un certain ordre de multiplicité p égal

2iU

TllÉOKlE DES ÉCLATIONS

tf

OU supérieur à i ; si nous remplaçons x par a + ^i dans le premier membre et si nous mettons le résultat sous la forme A H- Bi, A et B étant réels, ce résultat doit être nul, ce qui entraine les conditions que A et B soient séparément nuls (n° 182).

Si nous remplaçons maintenant x par la valeur a-h fJ* conjuguée de la première, le résultat est conjugué du premier (n° 182, remarque) et a pour valeur A — Bi ; il est nul d'après ce qui précède, et Ton en conclut que a — fit' est racine de Téquation.

Le même raisonnement s'applique aux dérivées successives f'{x), f"{x), . . . f^p-^>{x) qui sont à coefficients réels ; elles sont toutes nulles pour a — pi en même temps que pour a -f- pi*, mais la dérivée d'ordre p ne peut s'annuler pour a — pi*, car sinon elle s'annulerait pour a-f-p*, ce qui est contraire à Thypothèse ; on conclut de là que a — pi annule f{x) et ses p — 1 premières dérivées, sans annuler la p' ; par conséquent, elle est racine d'ordre /), d'où ce théorème :

Théorème III. — Si une équation algébrique à coefficients réels admet une racine imaginaire d'un certain ordre de multiplicité, elle admet la racine imaginaire conjuguée, et celle-ci a le même ordre de multiplicité que la première.

Corollaire. — Une équation algébrique de degré impair, à coefficients réels, a au moins une racine réelle, et elle en a toujours un nombre impair.

En effet, le nombre des racines imaginaires est toiyours pair, d'après le théorème précédent.

Supposons que l'on décompose le premier membre d'une équation algébrique à coefficients réels en facteurs du premier degré, sous la forme (2) ou (5), et qu'on effectue le produit des facteurs correspondant à deux racines imaginaires conjuguées a -4- pi et a — pi"; ce produit a pour valeur

(x — a — pÔ(x — a-4-p/)^- (x — «)'- -h p^ ;

on voit qu'il se met sous la forme d'un trinôme du second degré à coefficients réels, tel que x^~hpx-h q.

En opérant de la même façon pour tous les couples de racines imaginaires conjuguées, on met f[x) sous la forme

(6) f[x) = k{x—XiY{x—XiY . . . {x^-^piX-^q^Y[x'^-{-p^-^q^)* . . . ,

où Xi, X.2, ... sont les racines réelles de Téquation f(x) = 0, et où les trinômes ont chacun leurs coefficients réels, mais leurs racines imaginaires conjuguées, les exposants de ces trinômes étant égaux aux ordres de multiplicité des racines correspondantes de Téquation. Ce résultat peut s'énoncer ainsi :

Théorème IV. — Tout polynôme à coefficients réels est déconiposable en un produit de facteurs réels du' premier et du second degré.

Par exemple, le polynôme a:^ + t peut être décomposé en facteurs du second degré ; on écrit pour cela

en annulant chacun des deux trinômes, on a les quatre racines de réquation j:* -f- 1 = 0 , et ces racines sont imaginaires deux à deux conjuguées.

197. Ëlimination . — Éliminer une inconnue x entre deux équations algébriques

(7) f{x) = Aox'" -+- AiX-»-^ -i- • • • -h A;„^,j: -f- A„ = 0 ,

(8) (p(x) = BoxP -h B.xP-' -f- . . . -f- Bp,x -4- B^ = 0 ,

c'est chercher la condition à laquelle doivent satisfaire les coefficients de ces équations pour qu'elles aient une racine commune; théoriquement, on l'obtient en tirant la valeur de x de l'une et la portant dans l'autre, mais ce procédé n'est pas pratique lorsqu'on n'a pas de formule donnant la valeur d'une racine d'une des équations ou qu'une telle formule est compliquée de radicaux. Nous allons indiquer une méthode n'exigeant que des calculs rationnels.

Examinons d'abord le cas simple de deux équations du premier degré

ax-hb = 0, n'x-\ b' ^0;

248 ÏIIÉOUIE DES ÉgUATtONS

en tirant la valeur de x de Tune d'elles et la portant dans Tautre, on obtient la condition cherchée

En général, lorsqu'on a une équation du premier degré et une équation de degré quelconque, il suffit d'écrire que la solution de la première satisfait à la seconde.

Considérons maintenant deux équations du second degré

f[x) = ax^ -f- 6x -f- c = 0 , o{x) = aV -hb'x-hc' = 0]

nous pouvons en former deux combinaisons qui sont réductibles au premier degré,

ao{x) — a'f{x) = [ah' — ba')x-^[ac' — ca') ==0, c'f[x) — c^[x) = j{[ac' — ca')x -h [bd -^ cb')] = 0 .

S'il existe une racine commune aux deux équations, elle n*est pas nulle en général, à moins que c et c' ne soient nuls; elle doit alors annuler simultanément les deux facteurs linéaires,

(9) (ab' — ba') x-+- [ac' — ca') , [ac' — ca') x -f- [bc' — cb') ;

la condition pourquoi en soit ainsi est, d'après le résultat du cas précédent, que l'on ait

i^ac' — ca'f — [ab' — ba') [bc' — cb') = 0 .

Celte condition est encore satisfaite lorsque c et c' sont nuls; elle est donc, dans tous les cas, nécessaire pour que les équations données aient une racine commune.

Nous allons voir qu'elle est suffisante ; admettons qu'elle soit reniplie et supposons d'abord que les deux différences ab' — 6a', ac' — ca' ne soient pas simultanément nulles, par exemple que ab' — ba' soit

difterent de zéro. La première des expressions linéaires (9) s'annule

ac' • — c(i'

pour X ~ J-. i— r ; on vérifie que cette valeur de x satisfait

a6' — oa

aux deux équations données ; elle constitue donc une racine commune à ces deux é(|uations. Supposons maintenant que les deux diflerences ab' — ba' et ac' — ca' soient nulles ; nous en concluons que Ton a

PROPRIÉTÉS DES RACINES DES ÉQLATIONS ALGÉBR1(JL'ES 249 a h C

, , » ou bien que a et a' sont nuls simultanément. Dans

le premier cas, les deux équations données ont les mêmes racines ; dans le second, elles ont l'une et Tautre une racine infinie, et Ton dit par extension que cette racine infinie est commune aux deux équations ; nous voyons que la condition trouvée est toujours suffisante pour que les équations aient au moins une racine commune.

Dans le cas général où Ton considère deux équations telles que (7) et (8), on opère d'une façon analogue, en formant des combinaisons réductibles à des équations de degrés moindres, jusqu'à ce qu'on arrive à une équation du premier degré. Un procédé qui réussit dans tous les cas consiste à effectuer la division des deux polynômes; si l'on suppose que m ^oii^p, on divise f{x) par ^(x); soient q{x) et r[x) le quotient et le reste de la division. L'identité

montre que toute solution commune aux deux équations (7) et (8) annule le reste r[x) ; on est donc amené à chercher la condition pour que les deux équations (p(ir)=0, r( j) =: 0 aient une solution commune ; elles sont de degré moins élevé que les premières.

On opère de la même façon sur ^[x] et r[x) en effectuant leur division, et Ton continue ainsi comme dans la théorie arithmétique du plus grand commun diviseur, jusqu'à ce qu'on arrive à un reste constant; on écrit alors qu'il est nul, c'est-à-dire que la dernière division que l'on a à effectuer se fait exactement; nous remarquerons que les racines du dernier diviseur annulent alors le dernier dividende, ainsi que tous les polynômes précédents; ce sont donc les racines communes aux deux équations données.

Nous compléterons ces considérations dans une note placée à la fin du volume.

198. Condition pour qu'une équation aluébrique ait une racine multiple. — Théorème V. — La condition nécessaire et suffisante pour qu'une équation algébrique ait une racine multiple est qu'elle ail une racine commune avec sa dérivée.

Cela résulte immédiatement du théorème 11 (n° 11)5); nous avons vu en effet qu'une racine multiple de l'équation fix) -i) annule

.«K'jKmcer' .-, »,î.i

le premier membre de cette équation et au moins sa première dérivée. Réciproquement, une racine commune à Téquation donnée et à Téquation dérivée est une racine multiple de la première ; elle est racine double si elle n'annule pas la dérivée seconde de f{x), et plus généralement, racine multiple d'ordre p, si elle annule les dérivées successives de f{x) jusqu'à celle d'ordre p — 1 inclusivement.

D'après cela, on obtiendra la condition pour qu'une équation ait une racine multiple en éliminant l'inconnue entre cette équation et sa dérivée. Si Ton opère par divisions successives, les racines du diviseur de la dernière division effectuée sont les racines multiples de l'équation donnée.

Gomme application, cherchons la condition pour que l'équation du troisième degré

x^ -hpx-\-q = 0

ait une racine double; l'équation dérivée est

En divisant les premiers membres l'un par l'autre, nous avons

x^-hpx-\-q = (3x2 }y^) £. , £î. ^ y .

s'il existe une racine commune aux deux équations, elle doit annuler le reste de la division, et dès lors elle a pour valeur Xi = * ^ ; en

écrivant qu'elle annule la dérivée 3x--f-/), on trouve la condition cherchée,

La racine double est égale, ainsi que nous venons de le voir, à

— -^; comme la somme des trois racines est nulle (n** 194), la racine 2/î .^^

simple est égale à ^-L.