Réduction à une forme simple. — Soit

AoX» H- AiX* -h A2X -f- A3 = 0

l'équation générale du troisième degré; pour la résoudre, on commence par la ramener à une forme plus simple en posant

/y» -^^ rwv __^ * •

oAo

en remplaçant x par cette valeur, on constate que le terme du second degré disparait dans l'équation en x' \ si Ton divise alors tous les coefficients par celui de x'^ , on la met sous la forme simple

11 suffit donc de résoudre cette dernière équation et de retrancher

de chacune de ses racines la quantité — ^ pour avoir les racines de

oAq

Téquation donnée. Nous supposerons désormais que Ton ait fait au préalable le calcul que nous venons d'indiquer, et nous ne nous occuperons que de Téquation mise sous la forme

(1) x' -4~/)j: -h <jr = 0 .

Nous savons reconnaître si elle a une racine double et calculer dans ce cas ses racines (n° 198) ; nous considérerons donc dans ce qui suit le cas où les racines sont distinctes ; elles sont ou bien toutes les trois réelles, ou bien une réelle et deux imaginaires (n° 196, corollaire) ; nous verrons comment on dislingue ces deux cas l'un de l'antre .

200. Cas de trois racines réelles. — On calcule numériquement

les racines de l'équation (1) en les comparant à celles de Téquationqui

donne cos— connaissant cos 6 ; nous avons vu (n° 186) que cette »j

dernière est

(2) cos^ — — -rcos cos 6 = 0 ;

si nous posons dans l'équation (1) ic = pcos-r-ï elle devient, après division par p\

cos» — 4-il-COS-^-f--\ = 0.

Il est facile de l'identifier avec l'équation (2) ; pour cela, on

commence par choisir p par la condition ^ = — 4" ' ^"^ donne

p = 2 v/ — ^ , et Ton a ainsi Téquation

cos' -^ — - cos ^ f = 0 ;

il suffit alors de poser

(3) cos 0 = ' ^^ ,

pour que les équations soient identiques.

A des valeurs données de p et de q ne correspond un angle 0 fourni par la relation précédente que si p est négatif et si de plus, cos-0 est inférieur à 1 , ce qui conduit à la condition

cotte dernière condition est à elle seule suffisante, car si elle est remplie, p est forcément négatif, on peut alors déterminer un angle 0 par l'équation (3), et ramener par suite la résolution de l'équation (!) à celle de Féquation (2).

Lorsque la condition (4) est remplie, la résolution numérique de l'équation (1) consiste à calculer au moyen .des tables de logarithmes

RÉSOLUTION DE l'ÉQUATION DU TROISIÈME DEGRÉ 233

un quelconque, ôo, des angles ô, dont le cosinus a la valeur (3), puis à résoudre l'équation (2), enfin à multiplier ses racines par le nombre

p = 2\/ — L-^ or nous savons que les racines de l'équation (2) sont

,os-, cos^---!--), cos^--3J, nous en concluons que les racines de Téquation proposée sont

ces trois valeurs sont réelles et calculables par logarithmes.

201. Cas d*une seule racine réelle. — Plaeons-nous dans le cas où Ton a

(5) 4/>3-h27qr2>0;

nous allons déterminer les racines de Téquation du troisième degré par une méthode algébrique et montrer qu'une seule est réelle. Remplaçons dans (1) X par la somme de deux quantités inconnues y et z, ce qui donne Téquation

y^-\-z^-{- 3yz{y -f- z) -^p{y -\-z)-hq = 0\

nous pouvons assujettir y et z à une condition choisie arbitrairement, puisqu'elles sont reliées par une seule équation ; écrivons que le coefficient de y-hz est nul, c'est-à-dire que Ton. a

3yz-hp = 0;

il reste alors la relation suivante pour déterminer ^ et z :

y^-hz^-{-q = 0,

La première des deux équations précédentes nous donne z = — -jL^,

et en portant cette valeur dans la seconde, on a, pour déterminer y, l'équation

y^ est donné par une équation du second degré qui a pour racines

d'après Tliypothèse (5) faite sur p et y, ces deux racines sont réelles ; à chacune d'elles correspondent pour y trois valeurs dont Tune est réelle et les deux autres imaginaires conjuguées. En prenant par exemple le signe -f- devant le radical carré, on a pour y une valeur réelle que nous représenterons par

et deux valeurs imaginaires ; celles-ci sont (n° 190)

Les valeurs de z correspondantes sont, la première, réelle et les deux autres, imaginaires ; la valeur réelle Si est telle que le produit

i/iZi soit égal à — ^» ou bien, ce qui revient au même, que y\z\

soit égal à ( — ^J • D'après cette remarque, z\ est la deuxième racine de l'équation (6), et Ton a

le radical ayant sa valeur réelle ; les autres valeurs de z sont

Zl

car on peut vérifier que les produits y-^z^ et y^z^ ont la même valeur que î/iz, et sont égaux par suite à — ^ . l^cs trois valeurs de x sont alors

{/-î-\/(if-(f)-\/-ï-\/(iy-(f)'

Xi =

RÉSOLUTION DE l'ÉQUATION DU TROISIÈME DEf.RÉ 235

/-i-f-rV3\ /i iV3\

si l'on avait pris pour y* raulre racine de Téquation (C), il aurait suffi d'intervertir le rôle de y et s, et Ton aurait obtenu les mêmes valeurs pour x .

On voit que dans le cas où 4/>^ -f- 27 7^* est positif, Téquation a une racine réelle et deux imaginaires ; la formule qui donne la racine réelle est connue sous le nom de formule de Cardan, Si Ton veut la calculer par logarithmes, on rend calculables par logarithmes les racines de Téquation (6) puis on calcule leurs racines cubiques, et Ton fait la somme de ces racines cubiques.

En résumé, suivant que 4p'-f-27y* est négatif, positif ou nul, réquation du troisième degré a ses trois racines réelles, ou bien une racine réelle et deux imaginaires conjuguées, ou bien une racine double et une racine simple toutes deux réelles.