CHAPITRE IV

202. Il est rare que Ton puisse exprimer les racines d'une équation par des formules au moyen des coefficients, comme cela a lieu pour les équations du second degré; nous avons bien vu (n** 201) que les racines d'une équation du troisième degré s'expriment par la formule de Cardan ; on peut également donner une formule de résolution de Téquation du quatrième degré; mais on ne peut généraliser ces méthodes; Abcl a démontré en effet que les équations générales de degré égal ou supérieur à cinq ne peuvent être résolues par une expression algébrique formée au moyen des coefficients.

Quel que soit l'intérêt qui s'attache à une formule donnant les valeurs des racines d'une équation, une telle formule est en général peu propre au calcul numérique; elle ne donne souvent aucune distinction entre les racines réelles et les racines imaginaires. Nous nous proposons d'indiquer dans co chapitre des méthodes permettant de calculer avec une approximation suffisante dans la pratique les racines réelles d'une équation numérique donnée, algébrique ou transcendante simple, à coefficients numériques.

203. Racines entières ou fractionnaires d*une équation algébrique. — Soit

Aox" -i - A,x'"-' -h ... H- A„.,x -h A« =: 0

une équation algébrique dont nous supposons les coefficients réels entiers ou fractionnaires; en chassant les dénominateurs, nous pouvons

les supposer tous entiers ; nous nous proposons de calculer les racines réelles entières ou fractionnaires de cette équation.

Cherchons si l'équation proposée peut avoir une racine réelle entière

ou fractionnaire de la forme J-^ p et q étant entiers positifs ou

négatifs; nous pouvons toujours supposer ces nombres premiers entre

eux. En écrivant que -L annule le premier membre et chassant les

dénominateurs, nous aurons Tidentité

Ao/)'"-f-A,/>'"-*f/-f- ••• -h\m-iPq'"-'-\-A„q'" = 0\

nous en déduirons les deux égalités

p{koP'^"' -^ A^p'^-'q -h .-. -I-A^i7'^*)=: — A^^", Ao/>'" = çr(A,/)'"-'-h ••• -h K^i pq'^-^ -h An.q"'-') ,

Comme p et q sont premiers entre eux, la première de ces égalités exprime que p doit diviser A„, et la seconde que q doit diviser A©; on voit donc que le choix des nombres /; et q est limité; on prendra p parmi les diviseurs de A,„ et q parmi ceux

de Ao, on formera les différentes fractions positives ou négatives ^

dont les termes sont pris en valeur absolue parmi ces diviseurs, et l'on substituera ces fractions à x dans le premier membre de l'équation ; celles qui Tannuleront seront des racines. On reconnaîtra d'après le théorème 11 (n° 195) celles de ces racines qui sont multiples, et on déterminera leur ordre. On divisera enfin le premier membre par le produit des facteurs linéaires de la forme {x — xi)'', {x — x^y, . . . correspondant aux racines trouvées, affectés d'un exposant égal à l'ordre de multiplicité de ces racines, et le quotient, égalé à zéro, donnera les racines réelles irrationnelles et les racines imaginaires de Téquation. Exemple, — Soit l'équation

3x^4-2x3 — .Sx — 2 =rO;

p doit diviser 2 et être égal à i ou 2; q doit diviser 3 et être égal à i ou 3; on est conduit à essayer les nombres

±1, àz-. -h-2 =i=-;

VoGT. — Math. sup. 17

238 THÉORIE DES ÉQrATIOXS

on constate que -\-i et — — sont des racines, et sont simples; en

divisant le premier membre par les facteurs x — 1 et 3jr -h 2 correspondant à ces racines, on le met sous la forme

(j — t)(3x-+-2)(j-2-ha--+-l);

les deu\ dernières racines de Féquation, obtenues en annulant le dernier facteur, sont imaginaires, et sont égales à -^^^^ — ~ ^' •

Lorsqu'on a ainsi débarrassé Téquation de ses racines entières ou fractionnaires, il peut arriver que Téquation à laquelle on est conduit et dont les racines sont irrationnelles ou imaginaires ait des racines multiples; on le reconnaîtra (n° 198) à ce qu'elle a des racines communes avec sa dérivée; on sait dans ce cas former par des divisions successives Téquation qui a pour racines les racines multiples, et elle est plus simple que la proposée; nous supposerons qu'on ait résolu cette nouvelle équation, et qu'on ait débarrassé la première de ses racines multiples en divisant son premier membre par les facteurs linéaires correspondants ; nous pourrons donc nous limiter au cas d'une équation n'ayant que des racines simples; c'est ce que nous supposerons désormais.