Séparation des racines. — Théorème de Relie. — Ce que
nous allons dire s'applique non seulement aux équations algébriques à coefficients réels rationnels ou irrationnels, mais encore aux équations transcendantes, en supposant toutefois que les racines réelles de ces équations soient simples; nous supposerons dans ce qui suit que tous les termes sont placés dans le premier membre, et nous désignerons ce premier membre par f[x). Nous nous proposons de calculer des valeurs approchées des racines réelles de l'équation; nous commencerons par les séparer, c'est-à-dire par former une suite d'intervalles [a j t), [c y (/), ... tels qu'il existe dans chacun d'eux une et une seule racine réelle. Ony parvient ordinairement par l'application du théorème fondamental suivant et de son corollaire.
Théorème de Relie. — Dans lout intervalle où le premier membre tVune équation est continu et a une dérivée, deux racines
ftÉSOIXTIOX NUMÉRTQCE DES ÉQUATIONS 2r»9
réelles consécutives de celte équation comprennent au moins une racine réelle de l'équation dérivée.
Nous avons vu en effet (n° 128) que si une fonction f[.r) continue et possédant une dérivée dans un certain intervalle s'annule pour deux valeurs comprises dans cet intervalle ou égales aux limites, sa dérivée f'{x) s'annule au moins une fois entre ces deux valeurs ; le théorème de Rolle exprime cette propriété sous une autre forme.
CoFollaIre. — Dans tout intervalle où le premier membre d'une équation est continu et a une dérivée, deux racines réelles consécutives de Véquation dérivée comprennent au plus une racine réelle de la proposée.
Si elles en comprenaient en effet plusieurs, il existerait entre ces racines d'autres racines de la dérivée ; d'après le théorème précédent, et cela est impossible.
Il résulte de ces propositions que si l'on sait trouver d'une part les valeurs pour lesquelles le premier membre d'une équation devient discontinu, d'autre part les racines réelles de l'équation dérivée, et si Ton range toutes ces valeurs, ainsi que — oo et -f- oo par ordre de grandeur, dans chaque intervalle existe au plus une racine de l'équation donnée. La suite de ces valeurs s'appelle suite de Rolle.
Comme l'équation n'a pas de racine multiple, elle n'a pas do racine commune avec sa dérivée, et la suite de Rolle ne comprend pas de racine de l'équation donnée.
205. Pour reconnaître s'il existe ou non une racine dans un des intervalles ainsi formés on s'appuie sur le théorème suivant:
Théorème. — Dans tout intervalle où le premier membre d'une équation est continu, deux nombres dont les résultats de subslitutio n dans ce premier membre sont de signes contraires comprennent au moins une racine de l'équation.
Car, si l'on fait varier x d'une manière continue de l'un à l'autre de ces nombres, f{x) varie d'une manière continue; comme celle fonction change de signe, elle s'annule forcément pour une valeiu* au moins, comprise entre les deux nombres.
Ce théorème est d'im usage fréquent ; il montre par exemple que l'équation
a une racine réelle positive au moins, car les nombres 0 et -hoc donnent dans le premier membre des résultats de signes contraires. De même l'équation
jjfi H- x"' -h ^x^ — 2 — 0
a au moins une racine réelle positive et une racine réelle négative, car les nombres — oo, 0, et -f- oo donnent dans le premier membre des résultats successivement de signes contraires.
Nous allons appliquer ce théorème à la suite de Rolle.
C4oro11aire. — Deux nombres consécutifs de la suite de Rolle comprennent une racine de V équation ou n'en comprennent aucune suit'ant que leurs résultats de substitution dans le premier membre sont de signes contraires ou de même signe.
En effet, d'après la manière même dont a été formée la suite de Rolle, la dérivée du premier membre de l'équation garde un signe constant entre deux termes consécutifs de cette suite, et le prennier membre lui-même est une fonction qui varie toujours dans le même sens dans chacun des intervalles ; si deux nombres compris dans un de ces intervalles ou égaux aux limites donnent des résultats de signes contraires, ils comprennent une et une seule racine ; s'ils donnent* des résultats de même signe, ils n'en comprennent aucime.
Remarque. — Lorqu'un intervalle fourni par la suite de Rolle est limité par une valeur de x telle que x = b par exemple, rendant discontinu le premier membre f{x) de l'équation, il faut entendre par signe du résultat de substitution de cette valeur dans f{x) celui que l'on obtient en remplaçant x par une valeur voisine de b et tendant vers b tout en restant comprise dans l'intervalle considéré.
Supposons par exemple que les deux intervalles consécutifs linnités par b soient [a, b) et {b, c) ; pour appliquer le corollaire précédent au premier de ces intervalles, on doit substituer k x, à la place de 6, un nombre b — e, e étant positif et assez petit pour que f{x) garde
un signe constant entre 6 — e et b; de la même manière, pour l'intervalle suivant, on doit substituera x, à la place de b, un nombre 6 -i- €, £ étant positif et assez petit pour que f{x) garde un signe constant entre b et 6 -h e. Dans le tableau des résultats de substitution, on écrit ordinairement les deux nombres b — e et 6-f-s, en les séparant par un trait.
La courbe représentative du premier membre d'une équation rend bien compte des théorèmes précédents ; si Ton prend comme exemple Téquation dont le premier membre est représenté par la courbe de la figure 48, on voit que la suite de Roile est formée des nombres
oc,
J*i , X-i^ J3 , Xv , ^3 , Xe
pour lesquels la fonction est discontinue on passe par un maximum
OCa
Fijr. 48.
OU un minimum ; on écrira de la façon suivante le tableau des résultats de substitution correspondants
oc , JTi , 07-2 ■» «^3 ï «^4
Xx-\-E, X:i
j:'5-t-e, .Te, -j- ao ,
On voit sur la figure que l'équation a trois racines, comprises Tune entre — oo et j^i, l'autre entre x^ et j*;, et la dernière entre x^. et x^; on vérifie bien l'exactitude du théorème de Holle et des corollaires énoncés précédemment.
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