Exemples, — 1° Soit Téquation

x"^ — ox — 2 = 0 :

l'équation dérivée

a deux racines réelles — 1 et -I- i ; la suite de Rolle est formée des nombres — oo, — 1, H- 1 , -4-oo, et les signes des résultats de substitution correspondants sont indiquées dans le tableau suivant:

comme ils sont alternativement de signes contraires, on en conclut que réquation a trois racines réelles séparées par les nombres de la suite précédente.

2° Soit réquation

le premier membre est discontinu pour x = 0 ; sa dérivée Sx* H — -

ne s'annule pas; la suite de Rolle est formée de — oo,0, -hoo, et les signes des résultats de substitution, obtenus comme nous l'avons dit dans la remarque du n° précédent, sont

on voit que Téq nation a une racine réelle positive et une négative. 3° Soit réquation

X — tg a: ^= 0 ;

au lieu d'employer le théorème de Rolle, qui conduirait sans trop de difficulté à la séparation des racines, nous emploierons un procédé géométrique que Ton utilise souvent. Les racines de Téquation sont les abscisses des points communs aux deux lignes représentées par les équations

la première [fig, 49) se compose d'une suite de courbes égales; Tune

TT

d'elles a pour asymptotes les droites x = — — et x=^-\~ — et elle

Ji mi

passe par Torigine ; sa tangente en ce point, d'après le théorème du

Kig. 49.

n® IIH, a pour coefficient angulaire la valeur de la dérivée de tgx pour a: = 0; il est égal à l'unité et la tangente est la bissectrice de l'angle xOy; les autres branches se déduisent de celle-là en augmentant ou diminuant les abscisses d\m multiple de -k.

La deuxième ligne est la bissectrice de l'angle xO^ ; elle coupe la première branche à Torigine et lui est tangente ; on peut vérifier que x = 0 est une racine triple de l'équation proposée (n° 195, remarque). La bissectrice coupe chacune des autres branches de la courbe en un point; on en conclut que l'équation, outre la racine triple aT = 0, a une racine simple dans chacun des intervalles

264 TilÉORlE DES ÉCLATIONS

207. Calcul d'uoe valeur approchée d*une racine. — Lorsqu'on a reconnu qu'un intervalle (a, b) comprend une et une seule racine réelle d'une équation f{x) = 0 , il reste à calculer une valeur approchée de cette racine.

Le procédé le plus simple consiste à substituer à x une suite de nombres croissants intermédiaires entre a et b, tels que

et à chercher les signes des résultats de substitution dans f{x). Puisque f{a) et f{b) sont de signes contraires, on trouvera dans la suite ou bien un résultat nul, ce qui fera connaître la racine, ou bien deux résultats consécutifs de signes contraires, et les deux nombres substitués correspondants comprendront la racine.

Si elle est comprise par exemple entre «p et ff^+i , on pourra substituer des nombres intermédiaires entre ces deux-là, et resserrer rintervalle dans lequel se trouve comprise la racine. En général, on substitue des nombres entiers successifs, puis dans l'intervalle des deux entiers consécutifs qui comprennent la racine, on substitue des nombres croissant de dixième en dixième, puis de centième en centième, etc. On obtient ainsi des valeurs approchées de la racine avec 1, 2, ... chiffres décimaux par défaut et par excès.

Exemple. — Nous avons vu (n° 206) que Téq nation

a trois racines, dont Tune est supérieure à 1 ; pour calculer cette dernière, nous remarquons que 1 et 2 donnent des résultats, Tun négatif, l'autre positif, et comprennent la racine.

En substituant les nombres 1,1, 1,2, . . . , 1,9, on constate que

par conséquent la racine est comprise entre 1,5 et 1,6; en substituant les nombres 1,51 , 1,52, . . . , 1,59, on constate que

on en conclut que la racine est comprise entre 1,58 et 1,59 et est plus voisine du premier de ces nombres que du second.

IIÉSOLUTION MMÉlUgUE DES ÉUtATlONS 265

208. Méthode par parties proportionnelles. — Supposons que Ton ait trouvé deux nombres assez rapprochés a et 6 comprenant la racine cherchée ; si Ton substitue dans l'intervalle (a, b) au premier membre f[x) de l'équation une fonction plus simple et si Ton cherche la valeur de x annulant cette fonction dans l'intervalle considéré, cette valeur s'écartera peu de la racine cherchée et pourra être prise comme valeur approchée de cette racine.

La manière la plus simple de choisir la fonction auxiliaire consiste, comme nous l'avons déjà vu au n** 151, à supposer qu'elle est linéaire et prend pour a et 6 les valeurs f[a) et /"(/>), ce qui revient à dire qu'elle varie proportionnellement à l'accroissement de la variable; en la désignant par ii^ on a

La valeur de x qui annule u s'obtient en faisant u = 0 dans l'équation précédente ; elle surpasse a d'un accroissement x — a donné par la relation

le nombre x fourni par cette formule est pris pour valeur approchée de la racine.

Exemple, — En nous reportant à l'équation du n° précédent, supposons que l'on ait constaté que la racine cherchée est comprise entre 1,5 et 1,6, et prenons ces deux nombres pour valeurs de a et b. L'accroissement b — a est égal à 0,1; on calcule l'accroissement X — 1,5, que nous désignerons par /i, au moyen des valeurs de /*(i,5j et /*(1,6), par la relation

0,ï 0,485 7(V-hl,0OG 25 '

qui donne

on obtient ainsi pour la racine cherchée la valeur approchée 1 ,579 . . . 209. Méthode d*approximation de Newton. — Soit a un

valeur approchée d'une racine, a -h h sa valeur exacte inconnue; en écrivant que f{a-\-h) est nul, et développant la fonction suivant la formule de Tavlor limitée à trois termes, on a

(1) 0 = /•(« + A) = fia) + hf'{a) + f /'(« + ÔA).

mi

La méthode de Newton consiste à négliger le dernier terme, qui contient en facteur la quantité A* généralement très petite, et à prendre comme valeur approchée de h la valeur Ai fournie par l'équation du premier degré

c'est-à-dire

Four que ion puisse employer cette méthode avec avantage, il faut que la valeur approchée a -h Ai de la racine soit plus voisine de la valeur exacte a-\-h que la valeur primitive a ; on sera assuré que cela a lieu si les nombres a, a-hhi et a-\~h sont rangés par ordre de grandeur croissante ou décroissante, c'est-à-dire si la différence A| entre le deuxième et le premier de ces nombres, et la différence h — Al entre le troisième et le deuxième sont des quantités de môme signe. Or, on a d'après les équations (i) et (2),

fin) h' f'\(i-\-hh)

h' f\a-\-hh)

2 fia) '

A — /îj aura le signe de Ai si f[(i) et f"{a-\-Hh] sont de même signe.

On ne connaît pas f"[a } OA), mais, en général, la dérivée f\x) garde un signe constant connu entre a et n~\- h\ si ce signe est celui de /'/'), on est certain ([ue la méthode s'applique avantageusement au nombre a. Dans les applications, on connaît deux nombres a et b comprenant la racine, et tels que fia) et f[b) soient de signes contraires ; en supposant, ce qui arrive ordinairement, que f\x) garde

un signe constant connu entre a et 6, on est certain que la méthode s'applique avantageusement à Tun des nombres a ou 6 ; on choisit celui qui donne à f{x) et à f"{x) des valeurs de même signe.

La méthode de Newton permet de calculer une suite de valeure de plus en plus approchées de la racine. Supposons qu'elle s'applique, dans les conditions que nous venons de mentionner, au nombre a et qu'elle fournisse une valeur approchée a + Ai ; comme a -f- Ai est compris entre a et a-f-A, /"(«-+- Ai) a le même signe que f[a) et ce signe est aussi celui de la dérivée seconde f\x) dans l'intervalle ; par suite, la méthode est applicable à a -h Ai, et elle fournit une valeur a-hAi-f-A2 plus approchée de la racine que la première, et ainsi de suite.

La méthode de Newton présente enfin cet avantage de donner une limite de l'en'eur commise ; en prenant a -h Ai comme valeur approchée de la racine a -{-h, l'erreur (n° 175) est égale à

A^ ria-^^h) .

bien qu'on ne connaisse pas tous les termes du second membre, on peut en déterminer ordinairement une limite supérieure.

210. Il est facile de vérifier que la racine exacte est comprise entre la valeur fournie par la méthode des parties proportionnelles et celle que

donne la méthode de Newton ; supposons en ciïet que l'on construise la courbe de variation de la fonction /"(a?) entre les points A et B d'abscisses a et 6 {fiff. ;30) ; l'abscisse du point M où celte courbe coupe l'axe Ox est la valeur exacte de la ^'ig- SO. racine. La méthode des

parties proportionnelles consiste à substituer à la courbe la droite AB, et à prendre comme

268 THÉORIE DES ÉQUATlOiNS

valeur approchée de la racine Tabscisse du point Mi où cette droite coupe Ox\ Téquation de la droite AB est en effet

et en y faisant y=0, on a pour valeur de x Tabscisse du point Mi; elle est identique à la valeur approchée que nous avons donnée au n** 208. La méthode de Newton, appliquée au nombre a, consiste à substituer à la courbe la tangente au point A et à prendre comme valeur approchée de la racine Tabscisse du point M2 où cette tangente coupe Ox; en effet le coefficient angulaire de la tangente (n** 113) est f'{a) , et Téquation de cette droite est

en y faisant î/ = 0 on trouve pour valeur de x l'abscisse du point

Mi ; elle est égale à a — {.;, ; , ce qui est la valeur approchée fournie

par la méthode de Newton.

Gomme le point M est situé entre Mi et M2, la racine exacte est comprise entre les valeurs approchées fournies par les deux méthodes que nous avons mentionnées. Ordinairement, on applique simultanément les deux méthodes ; elles donnent des valeurs approchées comprenant la racine ; si a^ et 61 sont ces valeurs, on applique de nouveau les deux méthodes à a^ et 6, , ce qui fournit des valeurs ai.bi comprises entre les précédentes et comprenant la racine; on peut continuer de cette façon plusieurs fois. Si Ton s'arrête à a^ et 62

par exemple, la demi-somme — ^ — - sera une valeur encore plus approchée que a^ et 62.

211. Exemples. — 1** Appliquons la méthode de Newton à léquation algébrique déjà traitée dans les numéros précédents; on a

f{x) = x ' — 5j: — 2 , f [x] ~- ox * — 0 , f'ix) --^ 20j:' ;

f'\x) est positif po\ir x positif; nous choisirons par suite comme valeur approchée initiale un nombre rendant f[x) positif; en pre-

nant la valeur a = 1,6 pour point de départ, nous aurons

'~~7(W~~ 27,768 --O'O''*-'' à un cent-millième près, nous en déduisons la valeur approchée

D'il' I ^'' f\a-^hh)

Pour évaluer 1 erreur commise, qui a pour valeur --r- f,, — -'»

nous remarquerons que /""(a -t- ôA) est inférieur à la valeur de f^x) pour a? = 1 ,6, c'est-à-dire à 81 ,92 ; d'autre part, la méthode des parties proportionnelles nous a fourni la valeur 1 ,579 ; elle est inférieure à la racine, et A est sûrement inférieur en valeur absolue à la différence entre 1,6 et 1,579, c'est-à-dire à 0,021; nous en concluons que Terreur est inférieure à

J J7,it)o

et que la racine exacte diffère de a H- A, d'une quantité inférieure à cette limite ; comme elle est inférieure à a -f- Ai , elle est comprise entre 1 ,58 252 et 1,58 185 ; on peut la prendre égale à la demi-somme de ces valeurs 1,5 822 à quatre dix-millièmes près. 2* Considérons comme autre exemple l'équation

/•(x) = x — tgx = 0,

et cherchons la racine qu'elle possède entre 7t et -— ; on voit immédiatement qu'elle est supérieure à ' - dont la tangente est \ .

Prenons pour x les valeurs en radians d'arcs croissant de degré en degré à partir de 180° -f- 45°; on trouve ces valeurs dans la table intitulée « Longueur des arcs de cercle pour le rayon 1 » et placée à la suite des tables ordinaires de logarithmes; quant à tg j*, on l'obtient en cherchant d'abord son logarithme dans les tables trigonométriques, puis en remontant au nombre. Nous trouverons aussi deux arcs a et b différant entre eux d'un degré et comprenant la racine

a = arc (180° -h 77°) = 4,485 496 . . . , log tg a = 0,6 366 359 , tga = 4,.33 147, /"(^z) = -h 0,1 5 402 . . . ,

b == arc (180° -h 78°) = 4,502 949 . . . , log tg 6 = 0,6 725 255 , tg 6 = 4,70 463 , fih) = — 0,20 168

Si Ton applique la méthode des parties proportionnelles^ on obtient comme valeur approchée de la racine le nombre

ar, = 4,49 305 = arc (180° + 77°25'58*) ;

si Ton applique la méthode de Newton, on a

-2tgx.

nx) =

cos*a;

comme f''{x) est négatif dans le voisinage de la racine, on doit appliquer la méthode au nombre fe; Faccroissement Ai = .;\ ' est, en

calculant par logarithmes, égal à — 0,009 112 . . . , de sorte qu'une valeur approchée de la racine est

X, = 4,49 384 = arc (180« + 77°28'42") ; la racine elle même est comprise entre Xi et x<i^ et Ton peut prendre

la demi-somme — - comme valeur approchée de x,

212. Comme dernier exemple, considérons un fil homogène pesant

de longueur 2^ dont les deux extrémités B et C sont sur une même ligne horizontale à la distance 2/ runederautre{/Î5r.5!); la figure d'équilibre de ce fil est une courbe que Ton appelle chaînette ; nous nous proposons de calculer la flèche AD de cette chaînette.

On démontre en mécanique ï'»g- ^*- que Téquation de la courbe rap-

portée à la perpendiculaire au

milieu de BC comme axe des j/, et à un axe des x convenablement

choisi est de la forme

a étant un paramètre encore inconnu ; on voit facilement que Tare

compris entre le point A d'abscisse zéro et un point d'abscisse x est

car on vérifie bien que le carré ds^ de la différentielle de cet arc est égal à (Ix^-hdy^ (n° 101), et s est nul pour x = 0\ la valeur de Tare AB est donc, en remplaçant x par l'abscisse /de B,

(3) arcAB = 5 = -^(e° — e M;

d'autre part , OD est égal à la valeur de y pour x= l et l'on vérifie

qu'elle est égale à V^**'^ -h a^ ; comme on a enfin pour valeur de OA celle de y pour x = 0, c'est-à-dire a, on voit que la flèche AD a pour valeur

(4) flèche AD = /*= \/s^ -ha^ — a.

La résolution du problème qui consiste à calculer f connaissant / et ^ revient au calcul du nombre a qui entre comme paramètre dans l'équation de la chaînette; a est donné par l'équation (3), où « et / sont donnés ; l'équation (4) fournit ensuite /*.

Nous allons changer d'inconnue en posant — = z; nous écrirons

de plus s= l{\ -\- a), a étant un nombre donné généralement petit dans les applications ; Téquation (3) s'écrit alors

(5) e'e-^2(l-+-a)s = 0, et la flèche est donnée au moyen de z , par

nous désignerons par f[z) le premier membre de l'équation (5).

Nous allons démontrer l'existence d'une racine positive z et nous en déterminerons une valeur approchée en nous servant du développement en série de f[z)\ en remplaçant e' et e"'- par les séries corpondantes (n° 44), nous aurons

nous voyons déjà que l'équation (5) a la racine :: = 0 et que les

autres racines sont deux à deux égales et de signes contraires ; elle a une seule racine positive, car si z croit à partir de zéro dans la parenthèse précédente, les ternies qui suivent — a sont positifs et vont en croissant à partir de zéro; leur somme passe donc une fois et une seule par la valeur a.

Si a est petit et si Ton néglige dans la parenthèse des termes de degré égal ou supérieur à 4, on a pour déterminer z une équation simple ; elle donne

a) z = \/Ga

et c'est une valeur approchée de la racine exacte. Avec cette valeur approchée, on a pour f la valeur

/=/[v/('+«)' + i-\/^^]=:^[v^l-H6af.-Ha).-l];

en développant le dernier radical [1 -}-6a(l -i-a)*]^ d'après la formule donnant (1-ha:)'" (n° 148), et conservant seulement le terme contenant a au premier degré, on a pour valeur approchée de la flèche

Comme exemple numérique, supposons que a == 0,01 ; les valeurs approchées de z et de f fournies par (7) et (8) sont

s = /0,0G = 0,244 9 ... et /=/. 0,1224 ....

Pour trouver une valeur plus approchée de z , nous résoudrons Téquation (5) parles méthodes que nous avons exposées dans les numéros précédents ; nous remarquerons que Ton calcule e- au moyen de son logarithme vulgaire par la formule

log,o e = z logio e = z, 0,434 294 48 ;

il suffit de remonter de ce logarithme au nombre au moyen des tables usuelles: de plus, on a

loge~"*' = — loge'.

Nous utiliserons la valeur approchée de z que nous avons déjà trouvée 0,244 9, et nous prendrons comme valeurs de a et /; com-

RÉSOLUTION NUMÉRIQLE DKS ÉQUATIONS 273

prenant la racine- exacte des nombres voisins du précédent 0,244 et 0,245 ; nous aurons

a = 0,244 , f{a) = — 0,000 023 , fe = 0,245, /•(6) = H- 0,000 017;

nous voyons que a et 6 comprennent bien la racine ; en partant de ces deux nombres, la méthode des parties proportionnelles donne la valeur approchée Si = 0,244 575, et la méthode de Newton appliquée à b donne iSa = 0,244 579 ; la racine est comprise entre Zi et z^, et diffère de leur demi-somme 0,244 577 au plus de deux unités du dernier ordre décimal.

On a dans ce cas /"— /xO,i 229; on voit combien les valeurs simples (7) et (8) s'approchent des valeurs exactes et sont suffisantes dans beaucoup d'applications.

VocT. — Malh. sup. 18