CHAPITRE l
TANGENTES ET NORMALES AUX COURBES PLANES
213. Tangente en nn point d*nne courbe plane. — La tangente en un point M d'une courbe est la limite des positions d'une sécante passant par ce point et par un point voisin M' situé sur la courbe lorsque ce point M' se rapproche indéfiniment du premier. Nous avons démontré (n** 113) que le coefficient angulaire de la tangente est égal à la dérivée de l'ordonnée considérée comnie fonction de l'abscisse ; nous allons retrouver ce résultat et déterminer en même temps l'équation de la tangente.
Soient x, y les coordonnées cartésiennes du point M de la courbe; x \-\x, y -\- ly celles du point voisin M', et X, Y les coordonnées courantes ; comme les différences des abscisses et des ordonnées des deux points M, M' sont égales à Ax et Ay, l'équation de la sécante MM' est
(1) AZI^^IZI^;
• Ix ly
le coefficient angulaire de cette droite est égal à — ^ ; sa limite, c'est-
APPLICATIONS C.KOMÉTRIQrES
à-dire le coefficient angulaire de la tangente, est égale à la dérivée y^ de y par rapport à x, ce que nous voulions d'abord démontrer. Quant à Téquation de la tangente, c'est celle d'une droite passant par le point {x, y) et ayant pour coefficient angulaire y,; elle est par suite
(2) Y-2,=.yi(X-^);
en remplaçant y^ par -^, on peut encore écrire cette équation sous la forme équivalente
X — X -* Y — y ilx (ly *
c'est du reste colle (|ue l'on déduirait de (l) en y remplaçant, à
la limite, les infiniment petits Ax et ly par les dilTérentielles Jx
et dy, ainsi que nous l'avons expliqué au n° 160.
La forme (2) de Téqualion de la tangente convient surtout lorsque
l'équation de la courbe est résolue par rapport à y ; considérons par
exemple la courbe représentative de la fonction siiu; elle a pour
équation
y ^=r sina:
et est appelée .sinusoïde. La fonction y est périodique et a pour
Fig. l'rl.
période 2:: ; il sufdt donc de construire la courbe lorsque j: varie de i) à 2:: , et de reproduire la portion obtenue dans les autres intervalles (2?:, Wj, (4z, 0::), . . . (—2::, 0), (— 4:r, — 2::)
La dérivée de y est y' — cos j:-, et l'équation de la tangente en un point est
Y — y = cos X (X — x) ;
TANGENTES ET NOBMALES AUX COIRBES PLANES 277
en particulier la courbe passe à lorigine, car y est nul en même temps que x ; le coefficient angulaire de la tangente en ce point est égal à la valeur de cos x pour j = 0, et il est égal à l'unité ; la tangente à Forigine est donc la bissectrice de Tanglc des axes. La courbe a la forme indiquée dans la figure 52.
La forme (3) de Téquation de la tangente convient particulièrement lorsque les coordonnées .r et y d'un point de la courbe sont exprimées au moyen d'un paramètre. Considérons par exemple une ellipse : nous avons vu (n° 92) que les coordonnées d'un point de la courbe s'expriment au moyen du paramètre angulaire (p par les formules
X = a cos 9, fj = f^ ^^^ ? i
nous en déduisons, en diiïérentiant,
dx = — a sin 9 f/9, dy = b cos 9 d^ ;
en portant ces valeurs dans l'équation (3) et supprimant dfb aux deux membres, nous avons, pour représenter la tangente, l'équation
X — a cos 9 Y — b sin
— a sin 9 b cos 9 '
que l'on peut mettre sous la forme
X cos s Y sin a , r.
214. Supposons que la courbe soit représentée par une équation entre x et y, de la forme
(i) f{x, ,VJ-0;
on obtient la dérivée y' ou -y-'- en différontiant le premier membre de cette relation, ce qui donne
f^dx-\- fydy ^0;
supposons que /", et f^ ne soient pas nuls tous les deux pour le
point de la courbe considéré : en éliminant la dérivée —^ entre les
ax
équations (2 1 ou (3) et la précédente, on a comme équation de la tangente
Exemple. — Considérons une courbe algébrique dont l'équation ne renferme pas de ternie constant; en ordonnant son premier membre suivant les puissances croissantes de x et de y, nous l'écrirons sous la forme
Aj -h B^ -t Cx2 -4- 2Dx^ H- Ei/2 -h ... =0
et nous supposerons que A et B ne soient pas tous les deux nuls. La courbe passe à l'origine ; pour déterminer sa tangente en ce point, nous calculerons les deux dérivées
/:; -^ A -h 2Cx 4- 2D// 4- • • . , /;: = B -i- 2Dx-j- 2E.y -I- ...
et nous déterminerons leurs valeurs pour x^=0, y ^= 0 ; elles se réduisent à A et B ; l'équation de la tangente est alors, en faisant dans (5) x et y nuls,
AX-l BY=:0.
Remarquons que son premier membre est identique à l'ensemble des termes du premier degré de l'équation de la courbe ; nous pouvons donc énoncer ce résultat :
Lorsqu'une courbe algébrique passe à l'origine^ on obtient l'équation de la tangente en ce point en égalant à zéro Vensemblc des termes du premier degré de l'équation de la courbe.
On met souvent l'équation (5) sous une autre forme ; écrivons-la de la manière suivante :
\P -h \fl — [xf;. + yf:) = 0,
et cberchons à transformer le dernier terme. Supposons qu'on change
X et y en — et — dans l'équation (4), et qu'on chasse s'il va lieu
les dénominateurs ; elle se transforme en une équation
dont le premier membre est homogène en x, y, z; si nous lui appliquons le théorème d'Euler (n'* 172), et si nous désignons par m le
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degré d'homogénéité, nous avons
^fx +- yf'y -i -A- ^rnf[x, y, z).
Si nous faisons ensuite z -—- I dans les deux membres de cette identité, le second devient égal à mf{x, y) et il est nul, puisque le point [x, y) est sur la courbe ; nous en concluons que xf^-hyfl peut être remplacé par — /":, f'^ désignant la dérivée du premier membre de l'équation (6) par rapport à z, dérivée dans laquelle on remplace z par l .
Après ce changement, Téquation de la tangente s'écrit
cette forme est particulièrement emplo} ée dans le cas des courbes algébriques.
