FM
elle nous indique que la langenle MT est la bissectrice de ranffle extérieur du triangle FMF'; nous relrou>ons ainsi la propriété fondamentale de la tangente à l'ellipse.
Les mêmes considérations s'appliqueraient à l'hyperbole en changeant b'^ en — b- .
3° Considérons la parabole représentée par l'équation
en rendant, comme précédemment, l'équation homogène, nous la mettons sous la forme
/*i -r, y, Z) —■ l/^ 2pXZ rrr 0 ',
nous en tirons
fr = -2pz. f: = 2y.
2,px\
en y faisant z^^A, poHant dans l'équation (7) et divisant par 2. nous obtenons l'équation de la tangente,
celle de la normale est
La sous-tangente Pï de la parabole 1//7. 55) s'obtient en faisant Y = 0 dans Téquation (12); l'abscisse de T est X = — j-,
et l'on a PT= — 2x; on obtient la sous-normale en faisant Y = 0 dans l'équation (i3i: elle donne X — .r —p, d'où PN — /) ; on conclut de là que dans la parabole la .sou.s-iangenle est éc/ale au double de rabscisse, prise en signe contraire, et la sous-normale est égale au paramètre.
Remarquons encore que F étant le foyer de la courbe, la longueur FT
est égale à x -|- ^ ; elle es! par conséquent égale au rayon vecteur FM ; nous en concluons que le triangle FÏM est isocèle, et que la tangente fait des angles égaux avec le rayon vecteur et la parallèle à Vaxe: nous retrouvons ainsi la propriété fondamentale de la tangente à la parabole.
Ig. .JO.
TANGENTES ET NORMALES AUX COURBES PLANES 283
217. Tanoentcs passant par un point. — Pour mener à une courbe une tangente passant par un point donné, on cherche à déterminer le point de contact d'une telle tangente. Soient
Téquation de la courbe, (jtq, i/qI les coordonnées du point donné Mo par lequel doit passer la tangente, et enfin i j, y) celles du point de contact inconnu; la tangente en ce point est représentée par l'équation (Ti; en écrivant qiie cette droite passe par le point Mo, on trouve la relation
Les équations 1 14) et 1 15) sont deux équations auxquelles satisfont les coordonnées i-r, y) du point de contact inconnu; en les résolvant, on aura les coordonnées d'un ou de plusieurs points répondant à la question; les tangentes à la courbe en chacun de ces points seront les tangentes cherchées.
Au lieu de résoudre algébriquement les équations (14) et (15) où X et y sont deux inconnues, on peut y considérer ces lettres comme des coordonnées courantes et construire les lignes que représentent ces équations; les points communs à ces deux lignes auront pour coordonnées les valeurs cherchées de x et de y et seront les points de contact cherchés. La première équation (14) représente la courbe donnée, et la deuxième (15) une courbe auxiliaire que l'on appelle la polaire du point (Jo, Vo^ P«^»' rapport à la première; les points où elle la coupe sont les points de contact des tangentes répondant à la question.
Lorsque la courbe donnée est algébrique et d'ordre m , l'équation 1 1 5 ) est de degré m — 1 en x et y, et représente une courbe d'ordre m — 1 ; le nombre des points communs à ces deux lignes est en général mim — 1) (voir la note sur l'élimination à la fin du volume) ; on en conclut que par un point on peut en général mener à une courbe d'ordre m, m[m — 1) tangentes.
Dans le cas d'une courbe du second ordre, l'équation (15) est du premier degré ; la polaire d'un point est alors une droite qui coupe ordinairement la courbe en deux points: on peut donc en général mener d'un point deux tangentes à une conique, et la polaire du point est la corde
284 APPLICATIONS r.ÉOMÉTniQIES
joignant les points de contact de ces deux tangentes. On obtient l'équation de la polaire en remplaçant dans Téquation de la tangente, telle que (II) ou (12), X et Y par les coordonnées xo, yo du point donné.
218. Tangentes parallèles à une droite . — Four mener à une courbe
une tangente ayant un coefficient angulaire donné m, on cherche
comme précédemment à déterminer les coordonnées du point de contact
d'une telle tangente ; si \x, y) sont ces coordonnées, on écrit que le
coefficient angulaire yi de la tangente est égal à m ; si la courbe
r est représentée par 1 équation (14), on a //x — — -77-^ et en égalant à
m cette quantité, on a la relation
(16) f-^nifl^O.
Les coordonnées jt et // du point de contact sont fournies par les équations (14) et (16) ; en les résolvani, on a les coordonnées d'un ou de plusieurs points répondant à la question ; il suffit ensuite de mener à la courbe la tangente en chacun de ces points.
Si l'on considère dans les équations (14) et (16) jc et y comme coordonnées courantes, elles représentent des lignes dont les points communs sont les points cherchés ; la première est la ligne donnée, et l'autre une ligne auxiliaire que Ion appelle diamètre de la première relativement à la direction de coefticient angulaire m . Comme dans le numéro précédent, si la courbe donnée est algébrique et d'ordre m, le diamètre est une courbe d'ordre m — I coupant en général la première en n\[m — 1) points; on peut donc en général mener, à une courbe d'ordre m, mi m — Ij tangentes parallèles à une droite donnée.
Dans le cas dune coiu'be du second ordre, le diamètre représenté par l'équation (Ui) est une droite, et l'on peut ordinairement mener a la courbe deux tangentes parallèles à une direction donnée : le diamètre est la corde de contact de ces tangentes.
219. Point multiple. — Kn cherchant l'équation de la tangente en un point d'une courbe (n" 2I4\ nous avons supposé que les deux déri\ées f^ et fl ne sont pas nulles toutes les deux pour les coordonnées (lu point de contact : ce |)()int est alors a|)[)elé un point fiimple
TANGENTES ET NORMALES AUX (.OIUBES PLANES 28ÎÎ
de la courbe ; lorsque fi et f'j sont nulles, on ne peut plus évaluer, comme nous Tavons fait, le coefficient angulaire y^ de la tangente, ni utiliser Téquation (5) pour représenter cette droite: on dit alors que le point considéré est un point multiple. D'après cela, on reconnaît qu'un point I JT, y) est un point multiple si Ton a à la fois
ces trois équations à deux inconnues -r et y n'ont généralement aucune solution commune, et elles n'en possèdent que dans des cas tout particuliers, lorsque le résultat de l'élimination de x et y entre les trois équations est nul. On en conclut (|u'une courbe ne possède généralement aucun point multiple ; c'est pour cela qu'un tel point est souvent appelé point singulier.
Pour nous rendre compte de la forme de la courbe aux environs d'un point singulier de coordonnées ix, y), nous considérerons comme au n** 2!.'î un point M' voisin du premier, et nous désignerons par X -^ Ix et y -^ \y ses coordonnées; elles satisfont à l'équation f\x \ \x, Î/-+-AI/) — 0. Développons le premier membre d'après la formule de Taxlor \\\" 17ii : nous aurons
fix -t- \x, y -f Aj/) ^ fix, y) ■-{ /"; Ax -H f, \if
Le premier numibre est nul ; il en est de même, d'après les relations (17), des trois premiers termes du second membre; si les trois dérivées partielles du second ordre /"A, py, f"* ne sont pas toutes Jes trois nulles, on dit que le point .r^ y) est un point double ; si elles sont nulles, et si en général les dérivées de moindre ordre (|ui ne sont pas simultanément nulles sont d'ordre p, on dit que le point est multiple d'ordre p.
1** Considérons d'abord le cas d'un point double; d'après ce que nous avons dit, \x et \y sont liés par la relation
(18) -]^(f:,^x''^2f:,\x\y-\-f;'Ay')-\^y^^ « ..-i -i ... -0;
lorsque Ix tend vers zéro, il existe plus d'une valeur de \y qui tend vers zéro avec Ix ; pour déterminer les valeurs correspondantes
286 APPLICATIONS GÉOMÉTRIOrES
du rapport -r^, nous diviserons les deux membres de Téquation (18i par Aar^, et nous obtiendrons la relation
à la limite, tous les termes qui suivent les trois premiers sont nuls, et
il reste pour déterminer la limite —^ du rapport -JL Téquation du second depré
Cette équation ayant deux racines, nous voyons que la sécante MM^ peut occuper deux positions limites, dont les coefficients angulaires sont les racines de l'équation (19) et ces positions limites sont les tangentes à deux branches de courbe passant par M ; c'est parce qu'il y a deux branches se croisant au point M que l'on donne à ce point le nom de point double.
A chaque racine de l'équation (li)i correspond une tangente représentée par l'une des équations (2i ou (3) : si Ton élimine —1^- entre ces
adéquations (2) ou (3) et la précédente (19), on obtient Téquation
(20) I X - xff:, -^ 2( X — X) ( Y - i/)A -4 - (Y - yy^f;, = 0,
qui représente l'ensemble des tangentes à la courbe au point double. Si les racines de l'équation (19) sont réelles^ c'est-à-dire si la quantité
est positive, les deux tangentes ont des coefficients angulaires réels et distincts ; le point M est un point double ordinaire ; il y a deux branches réelles de courbe qui se coupent en ce point ; si les racines sont imaginaires, c'est-à-dire si H est négative, le point M est un point double que l'on appelle isolé parce que les branches de courbe qui y passent n'ont pas de tangente réelle, ni de point réel dans le voisinage de celui-là ; si enfin les racines sont égales, c'est-à-dire si K est nulle, les deux tangentes ont des coefficients angulaires égaux, et elles sont confondues; les deux branches deviennent tangentes à la
TANGENTES KT NOHMALES Al'X COl'RBES PLANES 287
même droite au point double ; on dit dans ce cas que ce point est un point de rebroassemenl.
2° Considérons le cas d'un point multiple d'ordre p ; les premiers termes qui se présentent dans le développement de f\x ^ \x, y -j Ay ) sont ceux de degré p, et Téquation i ISi est remplacée par la suivante :
-j-^-i^(r;Ax^'H--fA^^^^^^ ... H ÇAr)
lorsque \x tend vers zéro, il existe un certain noml)re de valeurs de Ay qui tendent vers zéro. Pour obtenir les valeurs correspondantes du
rapport — ^, nous diviserons par Ao^ les deux membres de Téqua- A*r
fion (21), et nous ferons tendre A-c vers zéro; la limite du rapport --^, é^ale à —/L, est donnée par Téquatiou
tri' ^ 1 frl'-hdx ^ ^ 'y'' \ ilxl
('elle équation a p racines ; on en conclut (|uo la sécante MM' à p positions limites dont les coefficients angulaires sont les racines de Téquation précédente, et qu'il existe dès lors p branches de courbe se croisant au point M, chacune d'elles étant tangente à l'une des droites limites précédentes.
A chaque racine correspond une tangente représentée par Tune des équations (2) ou (3); l'équation de l'ensemble des p tangentes s'obtient
éliminant —IL, entre les équations (2) ou \'X^ et f22V, elle est
dx
,•23, rj, iX - a-> -H ^[ t';,^ IX - x/-' (V - .y; ,
... ^f^;^y - fjf-0.
Si léquation (22) a des racines imaginaires, les branches correspondantes de courbe sont imaginaires ; si plusieurs racines sont égales, les branches correspondantes ont même tangente.
220. Cas particulier de l'origine. — Considérons, comme au n'' 214,
une courbe algébrique passant parrorigine, et dont l'équation, ordonnée suivant les puissances croissantes de x et de y, est rtiise sous la forme
/•(x,3/) = Aa?-f-Bî/-hCa:^-f-2Dar,î/-4-E;y2-hFaî»-h • • • =0;
nous allons déterminer les tangentes à cette courbe à l'origine. Les dérivées f'j. et ([ se réduisent pour ce point, comme nous l'avons vu, à A et B, de sorte que si ces deux coefficients ne sont pas nuls simultanément, l'origine est un point simple et Téquation de la tangente en ce point est AX -f- BY = 0 .
Plaçons-nous dans le cas où A et B sont nuls; l'origine est alors un point multiple; si les termes du second degré n'ont pas tous leurs coefficients nuls, les dérivées secondes
/•;2 = 2C-f-6Fj-f- . . , f:y = 2\) \ . . . , /•;2^2E-r • • ,
se réduisent pour l'origine à 2C, 2D et 2K et ne sont pas nulles toutes les trois; on en conclut que l'origine est un point double.
L'ensemble des deux tangentes est représenté par Téquation f20) où l'on fait x et y nuls ; elle devient, après division par 2,
CX^H-2DXY-f EY=^--0; cette équation, résolue par rapport à —, fournit les coefficients angu-
laires des tangentes; suivant que ses racine.s sont réelles et distinctes, imaginaires, ou confondues, l'origine est un point double à branches réelles, un point double isolé ou un point de rebroussement.
Si, plus généralement, les termes de plus bas degré de l'équation de la courbe sont de degré /?, on constate que les premières dérivées qui ne s'annulent pas pour X et y nuls sont d'ordre />, et ces dérivées se réduisent, à un facteur numérique près, aux coefficients des termes de degré p ; lorigine est alors un point multiple d'ordre p. L'ensemble des tangentes est représenté par l'équation (23) où l'on fait X et y nuls ; le calcul montre que cette équation est la mémo que celle qu'on obtient en annulant les termes de degré p de l'équation de la courbe.
En réunissant le résultat du n" 214 et ceux que nous venons d'obtenir, nous pouvons énoncer le théorème suivant :
TANGKNTES ET NORMALES AUX COURIiES PLANES
Lorsqaane courbe algébrique passe à Vorigine, Vordre de multiplicité de ce point est égal au plus bas degré des termes de Véquation de cette courbe, et Von obtient Véquation de Vensemble des tangentes à Vorigine en égalant à zéro Vensemble des termes de plus bas degré de Véquation de la courbe.
221. Exemples, — 1" Considérons la courbe appelée lemniscate et représentée par Téquation
elle passe à Torigine et ce point esl un point double; Tensenible des tangentes en ce point est représenté par l'équation
le premier membre se décompose en deux facteurs x — y et x-\~y qui, égalés à zéro, représentent les bisseclrices des angles des deux axes ; ces bissectrices sont les tangentes chercbées.
Pour construire la courbe, il y a avantage à former son équation
en coordonnées polaires, en remplaçant x et y par p cos 6 et p sin Q ; on a ainsi
0^ ^ 2a'^ co^ 2fi ;
p n'est réel que si 0 est, à un multiple près de 2:r,
compris entre -
- et -^ - 4 4
OU entre -7- et -7- et il 4 4
s'annule pour les limites précédentes; la courbe a la forme de la figure 56. 2" Soit la courbe représentée par Téciuation
elle a un point double à Torigine ; les tangentes sont représentées par l'équation x'~hy^ = 0 et sont imaginaires; l'origine est un point double isolé.
3** Soit enfin la courbe appelée cissoïde et représentée par
Féquation
x{x'^ -I- y^) — ay^ = 0 ;
VoGT. — Math. sup. U»
VPPLICATIONS (;Kf>MKTRIOI'FS
elle a encore un point double à l'origine, et les tangentes en ce point
sont représentées par Téq nation y - = 0 ; elles sont confondues en une seule droite dirigée suivant l'axe des x; l'origine est un point de rebroussement.
Pour constniire la courbe, nous résoudrons son équation par rapport à y y et nous «aurons
y nVst réel que si x est compris entre i) et a : à chaque valeur de x comprise entre ces limites correspondent deux valeurs de y égales et de signes contraires: lorsque x tend vers a, y augmente indéfiniment en valeur absolue, et la droite xt^a est une asymptote de la courbe: cette courbe a la l'orme indi(|uée dans la figure 57.
KiK. rn.
