Détermination de la tanyonte en coordonnées polaires

Soient p et 0 les coordonnées polaires d'un |)oint M d'une courbe, MT la tangente on ce point {fiy. 58): nous appehms OR la droite dirigée faisant l'angle 6 avec l'axe polaire et sur laifuelle est porté le segment algébrique p : nous nous proposons de déterminer l'angle (OH, MT), que nous désignerons par V : cet angle détermine complètement la tangente au point M .

l^es coefficients angulaires des deux droites Oït et MT étant respectivement

on a, d'après la formule du n" 86,

Kiff.

égaux à tirO et à

tg V =-

-p^ tgO dx °

TANGENTES ET NORMALES Al'X COl'HDES PLANES 291

OU bien

. , ^/i/cosO — Jxsinô {if Y r=- — ;

^ dx cos 0 -f- dy sin 0

si nous remplaçons dx et dy par leurs valeurs en fonction de dp et JO obtenues en partant des formules x = p cos 0 , y = p sin ô , comme nous l'avons déjà fait au n° 170, nous trouvons

Exemple, Considérons la courbe appelée spirale logarithmique et représentée par Téquation

9 = Po ^"'^ '

en appliquant la formule précédente, nous trouvons tg V — — , de

sorte que Tangle V de la tangente avec le rayon vecteur reste constant.

CHAPITRK II

CONSTRUCTION DE COURBES PLANES

223. Nous allons indiquer quelques rè«çles relatives à la construction d'une courbe plane donnée par son équation. Nous supposerons dans ce chapitre que la courbe est représentée en coordonnées cartésiennes par une équation résolue par rapport à l'une des variables, par exeniple par rapport à y ; tout ce que nous dirons de ce cas s'appli- (fuerait à celui où Têquation serait résolue par rapport à x en chan- «:eant le rôle des deuv variables.

Si if -^ fixj est l'équation de la coïu-be, l'élude des variations de la fonction /"(/•), telle que nous l'avons Hùte au chapitre 1! de la troisième partie, fournira des indications sur la manière dont varie y ; elle donnera les intervalles où la fonction y est réelle et continue, croissante ou décroissante, les valeurs de j- pour lesquelles elle est maximum ou minimum, et les valeurs correspondantes de y .

224. Position de la eourl>c par rapport s^ la tangente en un point.

Inflexion. — La tangente en un point de la courbe est déterminée par son coefiicient angulaire, qui est égal à la valeur de la dérivée y' en ce point : il } a intérêt à connaître la position (le la courbe par rappori à la tangente au\ environs d'un point quelconque; on y arrive par le calcul suivant :

CONSTRUCTION DE COURBES PLANES 293

Soit M un point d'abscisse j, M' un point voisin, d'abscisse x~\-lx \fig. 59), soient y et y -f- Ay leurs ordonnées ; développons Taccroissement A^ qui est égal à f{x~\--\.r) — f{x) suivant la formule de Taylor ; nous avons

A.y ^ f(x + Ax) - fix] = Ixf'ix) + j^ f'i-n ^- -^^ rV) + . . .

Le premier terme du second membre est égal au produit de Sx par la dérivée f'{x) ; il est identique à la différentielle dy , et il est égal, comme nous l'avons déjà remarqué au n" 157, à l'accroissement de l'ordonnée de la tangente au point M correspondant à l'accroissement \x\ les termes qui suivent le premier, et qui constituent la différence Ajy — dy , représentent par suite la différence P'W — F'N' c'est-à-dire le segment N'M' compris entre la tangente et la courbe, sur l'ordonnée du point M'.

Écrivons que Ton a

N'M' - ^ fV) + -.-— n^) + • • • :

en général la dérivée f\x) est différente de zéro ; supposons que pour le point M cette dérivée ne soit pas nulle et soit par exemple positive ; le second membre de la formule précédente a le signe de son premier terme pour des valeurs suffisamment petites de Sx en valeur absolue; il est positif dans le cas actuel, aussi bien pour les valeurs positives que négatives de Sx: on en conclut que les points de la courbe situes aux environs du point M, connue le point M', se trouvent du côté des y positifs par rapport à la tangente, ainsi que l'indique la figure 59 ; on dit que la courbe tourne sa concavité vers les y positifs.

Si la dérivée f"{x] est négative, les conclusions sont inverses, et les points de la courbe se trouvent, dans le voisinage de M, du côté des y négatifs par rapport à la tangente; on dit (jue la courbe tourne sa convexité du coté des y positifs.

Supposons maintenant que pour un point M particulier f"'[x) soit nulle et f"'(.x) ditlerente de zéro; on a alors

le second membre a le signe de son premier terme pour des valeurs

APPLICATIONS r.ÉOM ÉTRIQUÉS

suffisamment petites de \x, et ce signe varie avec celui de \x, car

cette quantité est élevée à une puissance impaire ; on en conclut que le segment N'M' a un certain signe pour les points M' dont l'abscisse est supérieure à celle du point M, et le signe contraire pour ceux dont l'abscisse lui est inférieure ; la courbe traverse donc la tangente au point M , comme l'indique la figure 00 ; le point M est appelé un point iV inflexion.

11 peut arriver que pour des points

particuliers, non seulement /""(xi,

mais encore une ou plusieurs des dérivées suivantes soient nulles ; une

discussion facile analogue à la précédente montrerait dans chaque cas

si la courbe traverse ou non la tangente au point considéré.

Lorsque Ton veut déterminer les points d'inflexion d'une courbe, on doit chercher les valeurs de x pour lesquelles f"{x) est nulle; en général ces valeurs sont les abscisses de points d'inflexion; il peut arriver cependant, l(»i"sque les dérivées d'ordre supérieur à deux s'annulent en même temps que la dérivée seconde, qu'une racine de l'équation /"(*r) ne fournisse pas un point d'inflexion de la courbe.

Kig. 6(».

225. Équation de Van der Waals. — Comme exemple, considérons l'équation connue en physique sous le nom d'équation de Van der Waals,