KT

rRT-^^Aii

p" s'annulera, et par conséquent la courbe aura des points d'inflexion, si la fraction

il --^

peut atteindre la valeur HT; en opérant encore comme précédemment et formnnt la dérivée de h, qui est

Wn V — h- ih — ri

nous voyons que u croit de 0 à un maximum atteint pour v = ib et

égal a -77 t ' P"** ^^'

croit jusqu'à zéro; nous en tirons cette troisième conclusion :

Suivant que RT est inférieur, égal ou supé-

rieur a -;t t ' P s an- 4* b

nule pour deux valeurs distinctes de V supérieures à b, ou pour deux valeurs confondues et égales à 46, ou ne s'annule pas; à cha- ((ue valeur de v annulant p'' correspond un point d'inflexion de la courbe.

La courbe représent aii\c (les >aria(ioiis de p aura dos formes distincles suivant les

Kig. r.i

CONSTKICTION DK COI RBKS PLANES 297

valeurs de RT: elles sont représentées dans la figure 61. La eourbe

i n 1 correspond à HT inférieur à -rr-r; elle coupe Ov en deux points

réels; ces points sont confondus et la courbe devient tangente à Ov

si Rï = —---. La courbe 11 correspond à RT compris entre la

2^ n valeur précédente et -"- - ; p passe comme dans le cas précédent

paj un minimum et un maximum. Ce minimum et ce maximum sont

confondus pour RT == -^ - ' comme l'indique la courbe IH; celle-ci

présente alors, pour v — 3/>, une tangente d'inflexion horizontale. La courbe IV correspond à RT compris entre la valeur précé-

dente et -77 )■; elle présente comme les précédentes deux points d*in-

flexion; enfin la courbe V correspond à R supérieur à -77 t\ ^^^^ "^

présente aucune inflexion et a la fonne d'une branche d'hyperbole équilatère.

226. Autre exemple. — Soit à construire la courbe du second ordre représentée par l'équation

fil 5^;^ — 4jy-| 41/^ — 240- ---();

nous résoudrons cette éciuation par rapport à */, et nous aurons

A chaque valeur de l'abscisse x correspondent deux valeurs de if et par suite deux points de la courbe; on obtient leurs ordonnées en

augmentant et diminuant l'ordonnée de la droite y =^ - d'une (|uan-

ma

tité égale au radical R — y/ — -r- 4- fij- .

Celui-ci n'est réel que si x est compris entre les racines 0 et 6 ; nous en concluons que la courbe est tout entière comprise entre les parallèles à 0// d'abscisses 0 et (>. Lorsque x croît de 0 à 6, R qui est d*abord nul passe par un maximum R — iî |)our .r--3, demisomme des deux racines, puis décroît jusqu'à devenir nul; on peut ajouter qu'il prend des valeurs égales pour des valeurs de x dont la demi-somme est égale à 3 .

APPLICATIONS OÉOMÉTRIQIES

Fig. 62.

Construisons la droite OD ^/ig.iy'2 de coeflicient angulaire ~r et

les parallèles à cette droite dont les ordonnées à l'origine soni -*- 3 et — 3; ces deu\ droites. Taxe des y et la parallèle à cet a.\e d'ahscisse 6 forment un parallélogramme à l'intérieur duquel se trouve placée la courbe. La droite D partage en deux parties égales les cordes telles que MMi [)arallèles à Oy; de même la imrallèle à l'axe des y d'abscisse 3 partage en parties égales les cordes parallèles à D; la courbe a pour centre le centre du parallélogramme ; nous montrerons plus tard l'identité de cette courbe et de Tellipse.

Pour calculer la déri\ée //', on peut se servir de la valeur de y fournie par l'équation 2i ou bien de l'équation de la courbe, comme nous l'avons fait au n" 21 i. En différentiant l'équation 1 1 1, on a

{\i)x— 4// — 24 wlx -\ 4x -h Sy ir/y = 0 .

On a en particulier le maximum et le minimum de // en écrivant

(lue -/— est nul, ce qui fournit l'éiiuation ax

cette relation représente une droite dont les points d'intersection avec la courbe correspondent au maxinunn ou au minimum de ,</ ; en ces points la tangente est parallèle à Ox.

227. Asymptotes. - Lors(|u'une brandie de courbe s'étend à l'infini, on dit qu'elle admet pour asymptote une droite donnée si la distance d'un point de la coiu'be à cette droite tend ^ers zéro loi'sque ce point s'éloigne indéfiniment.

1" Si y augmente indéfiniment lorsque x s'approche d'une valeur a, la droite x = a est une asymptote de la courbe; on obtient par suite les asymptotes parallèles à l'axe des y en cherchant les valeurs linies de j: pour les(juelles y est infini. C'est ainsi que nous avons

CONSTRICTION DE COIRBES PLANES 299

trouvé l'asymptote de la cissoïdo in'' 221); de là même manière, la courbe représentative de la fonction igx a pour asymptotes toutes

les droites d'abscisses .r - k-K f- ,. •

2" Pour une raison analogue, si y tend vers une limite h lorsque x augmente indéfiniment, la droite .y = 6 est une asymptote parallèle à l'ave des j:* ; par exemple, la. courbe

a pour asymptote la droite // = 2, car y tend vers la valeur 2 pour X infini.

Les courbes construites au n" 225 ont pour asymptotes l'axe Or et la parallèle à l'axe 0/> d'abscisse v — b.

S** Une courbe peut avoir d'autres asymptotes non parallèles aux axes; on reconnaît qu'une droite représentée par Téquation

( 3 ) y =: ex -\- d

est asymptote de la courbe ij = f[x) à ce que la diirérence entre les ordonnées de la droite et de la courbe tend vers zéro lorsque x augmente indéfiniment ; il faut et il suffit pour cela cjne l'on puisse écrire l'ordonnée de la courbe sous la forme

( i ï ij = fix] = vx I rf -I- 6 ,

£ tendant vers zéro lorsque x augmente indéfiniment.

228. Lorsque fix] est une fonction rationnelle et que le degré du numérateur surpasse d'une unilé cebii du dénominateur, il suffit d'effectuer la division du numérateur par le dénominateur pour mettre 1/ sous la forme (4); cx-\ d est le ({uotient de la division et e le reste divisé par le diviseur; s tend vers *0 lors(|ue a: augmente indéfiniment; il suffît alors de conserver au second membre le (luotient de la division pour avoir ré(|uation de l'asymptote.

Soit à construire par exemple la courbe du second ordre représentée par l'équation

2x- — 2xy — 2x -f 4// - l - 0 ; l'équation est du premier degré par rapport à y ; elle donne en la ré-

:wi

%PFLIC\TIO>^ fMtf.*MLTni*jVfJP'

^*\\^u\ par rapfKirt a rf-H*' ^arinhl»'

La ffiirlu* a II ri ^ a**} mptui** parallèle a *>»/, d'ahscis^e 2 : lorsque X s'appr'K'he de 2 par *alenrv inférieur**?» a ee nombre, le numérateur e^l p4psiU(, le dénominal -iir néiralif. el y aut^mente indefinimenl par valeur*» né jiafi^e*»: d** nM me ïor^u^ue jt tend ^er^ 2 par valeur^ supérieures, y autrmente iudëfiniy: :| ment par valeurs p«.»siti^e>. En

elîee tuant la division du numérateur par le dên«»mînateur. on a

lorsque x augmente indéfiniment par valeurs positives ou négatives, la fraction tend vers zéro, et Tordonnée de la courbe tend vers la même valeur que Tordonnée de la droite

Cette droite est la deuAièrae as} mptote de la courbe : on voit de plus que la fraction romplémentaire est négative pour x inférieur à 2 et positi\e pour x supérieur à ce nombre ; dans le premier cas, la courbe est au-dessous de son asymptote et dans le second cas, au-dessus; elle a la forme indiquée par la figure ()3 : nous montrerons plus tard qu'elle est une h\perbole.

Fig. n:i.

^2». Lorsque la fonction i/ — f\x n'est pas rationnelle, il n'est pas toujours facile, pour la recherche d'une asynq>tote, de mettre cette fonction sous la forme

y = ex I J-^ e,

e tendant vers zéro quand x augmente indéfiniment. On calcule alors

constru<:tion de cornnEs planes 301

séparément le coefficient angulaire c et l'ordonnée à Torigine d de Tasymptote à l'aide de la remarque suivante :

c est égal à la limite de -^ el d est égal à la limite de y — ex pour x infini.

De ré(fuation i4i nous tirons en effet les égalités

y de , ,