X XX

lorsque x augmente indéfiniment, e d'une part, 1 d'autre part,

tendent vers zéro ; par suite, la limité de — est égale à c, et celle de

.r y — ex est égale à r/ .

Exemple. — Soit la courbe représentée par l'équation

où le radical est pris avec le signe -h ; on a -^'---k/ . et la

limite de ce rapport est l'unité ; le coefficient angulaire c est donc égal à i ; formons maintenant y — ex, (fui a ici pour valeur

VV x^2 ) \Jx — 2

en multipliant et divisant les deux termes de la dernière fraction par la somme des radicaux formant le numérateur, on a

sj x — t{s^ X — \ -\->J X — i)

la limite du second membre est —-' de sorte (|ue l'ordonnée à l'origine d est égale à - ; l'équation de l'asymptote est par conséquent

CHAPIÏRK III

CONSTRUCTION DE COURBES PLANES (suite)

230. Cas d^une équalion non résolue. — Nous supposons maintenant que la courbe est représentée en coordonnées cartésiennes par une équation f(x, y) -- 0 non résolue par rapport à l'une des variables; nous nous limiterons au cas où cette équation est algébrique, bien que plusieurs des résultats que nous indiquerons s'appliquent aux courbes transcendantes. Nous n'insisterons pas sur le cas où l'équation est facilement résoluble par rapport à x ou à y, ce qui airive par exemple si l'équation est du second degré ou bicarrée ; les considérations du chapitre précédent s'appliqueraient à ce cas en effectuant la résolution de Téquation.

L'équation de la courbe définit l'une des variables, par exemple y, comme fonction implicite de l'autre ; on est amené de cette manière à l'ordonner par rapport à la première de ces variables; soit

(1 ) fix, y) ^ ^(^ix'yyP -f- z^^ixyy^-' -4- ... ---0

l'équation ainsi écrite, où 90, 9,, ... sont des polynômes entiers en X ou des constantes ; les méthodes que nous avons indiquées dans la quatrième partie permettent de déterminer pour chaque valeur de x le nombre et la grandeur des racines réelles y qu'elle peut avoir; on se rend compte de cette façon du nombre et de la position des points de la courbe situés sur une parallèle à Oy, lorsque l'on fait varier l'abscisse de cette parallèle de — oc à ^ oc.

Si les racines de l'équation sont deux à deux égales et de signes contraires, c'est-à-dire si l'équation ne change pas quand on change

CONSTRL'CTION DE COlRBES PLANES 303

y en — y, la courbe est symétrique par rapport à Taxe Ox\ de même, si l'équation ne change pas quand on y remplace x par — x, la courbe est symétrique par rapport à Taxe des y ; si enfin l'équation ne change pas quand on change de signe x et y à la fois, la courbe admet Torigine comme centre.

On calcule la dérivée y', comme nous Pavons déjà indiqué, en diiïérentiant l'équation (1), ce qui donne

f:,dx-i-fldy^O',

on détermine de cette façon la tangente en un point quelconque. On a les maxima et minima de u en annulant la dérivée -7^, c'est-à-dire