IX
on écrivant /"i — 0 ; on a de même les maxima et minima de x en
(Ix annulant la dérivée -7— de x, c'est-à-dire en écrivant f[ — {\.
il y
231. Asymptotes. — Pom* ((u'une courbe ait »uie asymptote parallèle à Oy (n° 227), il faut que l'ordonnée puisse devenir infinie pour une valeur finie de l'abscisse; or l'équation (I) ne peut avoir de racine ij infinie pour une valeur finie de x que si, pour cette valeur, le coefficient de la plus haute puissance de y devient nul, c'est-à-dire si l'on a s.^/'jr) — 0 ; on a donc ce résultat :
Les abscisses des asymptotes parallèles à i)y se trouvent parmi les valeurs de x (/ui annulent le coefficient du terme déplus haut degré en y.
En général, lorsque j: s'approche d'une racine de ^^[x)^ il y a «les valeurs réelles de y (|ui deviennent infinies: il y a alors des branches réelles de la courbe qui sont asymptotes à la droite ayant cette racine pour abscisse; si les valeurs de y (|ui deviennent infinies sont imaginaires, la droite n'est asymptote à aucune branche réelle de courbe.
De la même manière, on obtient les asymptotes parallèles à 0.r eu cherchant les valeurs de y (pii annulent le coefficient de la plus haute puissance de x dans l'équation.
Comme exemple, considérons la courbe du second ordre représentée par l'équation
xy — 2x —Wy -\ 4 ~- 0 :
jc et ^ n'jentrent qu'au premier degré au plus ; le coefficient de y
304 APPLICATIONS GÉOMÉTRIOIKS
est X — 3 et celui de x est y — 2 ; on en conclut que les droites parallèles aux axes représentées par les équations x = 3 et i/ = 2 sont asymptotes de la courbe.
232. On obtient les asymptotes d'une courbe algébrique non parallèles aux axes de coordonnées en appliquant la remarque du n° 229 ; le
coefficient angulaire c d'une asymptote est la limite de — et l'ordonnée à l'origine d est la limite de y — ex lorsque x augmente indéfiniment.
Ordonnons le premier membre de l'équation on écrivant d'abord les termes de degré le plus élevé par rapport à x et ly; nous désignerons leur ensemble par ©J.ï',y), m étant l'ordre de la courbe; nous désignerons ensuite par ^m-i{x,y) l'ensemble des termes do degré m — i , et ainsi de suite ; nous aurons ainsi l'équation mise sous la forme
(2) /"(-ï-, 3/)=-?in(.r, .y)-f-©^,(j', ^i-f- ••• --0.
Si nous divisons par .r"' tous les termes de Téquation et si nous mettons en évidence le rapport —, nous avons
lorsque j: augmente indéfiniment, tous les termes, sauf le premier,
deviennent nuls; si -^ a une limite égale à r, cette limite satisfait à
l'équation obtenue en annulant le premier terme qui reste seul, c'està-dire à l'équation
(4; cp„(t,r)-0;
nous avons donc ce premier résultat :
Le coefficient angulaire iViin asymptote est une racine de V équation (4) obtenue en remplaçant dans les termes de plus haut degré de V équation de la courbe x par 1 et y par c.
En général, à chaque racine do cette équation correspond une asymptote.
CONSTRUCTION DE COmBES PLANES 305
Ayant calculé une racine c de l'équation (4), posons dans léquation (3)
la limite de o pour x infini est, d'après ce que nous avons vu au n° 229, Tordonnée à Torigine d de l'asymptote considérée. L'équation (3) devient après la substitution précédente
,„.(l,,Hlj+l,(,,e-44)
développons chacun des termes du premier membre suivant les puissauces de --» d'après la formule dv Taylor; nous avons
(J}] 9„(i , cj-i- — çp;,'1 , r) -H :^ :p;;,( I , c ) -{ - •••
•I* 1 . ad J!*'
H &„.,( I, ri -f- ", o^,(l , O) -}- ••• —0,
les symboles ^i,! i , n, tj,'^,;!, n, ... désignant les dérivées par rapport à c.
Le premier terme est nul d'après l'éciuation 'ii; les termes de la
deuxième colonne contiennent — et ceux des colonnes suivantes
au moins en facteur: si nous multiplions le premier membre par x,
et si nous mettons — en facteur dans les termes qui le contiennent,
nous mettons l'équation sous la forme
o:p;„(l , c\ ~\- cpm-i( 1 , c) -^ - \ — 9^,1 1 , c) -h • • • j
Lorsque x augmente indéfiniinent, tous les termes suivant les deux premiers deviennent nuls ; si 8 a une limite égale à (/, cette limite satisfait dès lors à l'équation
Nous avons donc ce deuxième résultat :
L'ordonnée à Vorigine d d'une asymptote de coefficient angulaire c est fournie par Véquation (0).
VoGT. — Matb. su p. 20
HOfi APPLICATIONS GKOMÉTRlgrES
Si c est racine simple de l'équation (4), cpi,(i , c) n'est pas nul, et Téquation (fi) donne pour J une valeur déterminée : au contraire, si c est racine multiple, cp^it, c) est nul; dans ce cas, si la racine multiple c n'annule pas en même temps «p^-idi^'^ Téquation (G; donne pour d une valeur infinie, et l'on dit que l'asymptote est rejetéc à rinfîni.
Lorsque 9^^f,r> et (pm i(l,c) sont nuls, les trois premiers
termes de l'équation loi sont nuls; les termes suivants contiennent au
moins -— en facteur; on multiplie alors les deux membres parla pre-
mière puissance de x entrant au dénominateur, on fait croître x indéfiniment et l'on obtient comme précédemment une équation donnant la limite d de o; cette métbode est générale et s'applique à chaque cas particulier.
Ilemarque. — Les droites issues de l'origine et parallèles aux asymptotes sont appelées directions asymptotiques ; leurs coefficients angulaires sont les racines de l'équation (i^: l'ensemble de ces droites
est représenté par l'équation obtenue en remplaçant c par -^ ; si l'on chasse le dénominaleiu', celle équation de\ient
Nous voyons que /'o/ï obtient V équation représentant Vensemhle (les directions asymptotiques d\ine courbe algébrique en conservant seulement Vensemble des termes de plus haut degré de l'équation de cette courbe.
233. Discussion do Téquation du second degr^. — Nous allons appliquer ces considérations aux courbes du second ordre; leur équation îjénérale s'écrit ordinairement sous la forme
f X, g^ A.r^ -h 2]\xg -f- Cg' -\- 2Dx + 2Ey -h F r= 0 ;
nous avons dans, le cas actuel, m — 2 et
92 '.r, // ) -: A x^ -H 2Bxg -h Cg^.
Pi I .r , 1/ 1 - 2Dj: -h 2Eg ,
cpo --- F.
CONSTRUCTION DE COL'RBES PLANES 307
Les directions asympto tiques sont fournies par Téquation
(7) 92(1 ,c)=r.A-\- 2Bc -f- Cc2 == 0 .
1** Si Ton a B^ — AC<;0, cette équation a ses racines imaginaires et la courbe n'a pas de branche réelle s'étendant à Tinfini ; on dit que la courbe est du genre ellipse.
2** Si Ton a B* — AC >> 0 , Téquation (7) a ses racines réelles et distinctes, et la courbe a des branches s'étendant à Tinfini dans deux directions; on dit alors que la courbe est du genre hyperbole. A chaque racine de Téquation (7) correspond une asymptote dont lordonnéo à l'origine esl fournie par Téquation ((>); celle-ci devient, on remplaçant ^'m{\ , c) et 9„,i(l , c) par leurs valeurs et divisant par 2,
;8) r/(B-hC:r) i D-hKci -i).
Exemple. — Soit la courbe représentée par la relation
.1x- — 4j-iy \- if- — 2x -\ 4 y -h 1 : - 0 :
l'équation aux directions asymptoliques est
et a pour racines c ^—- 1 et c" — 3; les ordonnnées à l'origine correspondantes sont données par Téquation (8), qui devient
elle donne J' = 1 et J'' ~ — 5 ; les asymptotes de la courbe sont dès lors représentées par les équations
1/ =^ or -h 1 , y =^ Sjc — 5 .
3° Si Ton a B^ — AC — 0, l'équation (7) a ses racines égales et la courbe a des branches s'étendant à Tinfîni dans une seule direction ; on dit alors que la courbe est du genre parabole. Deux cas sont à considérer suivant que la racine double c n'annule pas 9,„, ( 1 , r) ou Tannule ; en supposant par exemple C ^ 0, on a
B . V o/r. EB\ 2(DC— EB
Si DC — EB n'est pas nul, l'équation (^0) donne pour d une
valeur infinie, et Tasyniptote est rejetée à Tinfîni ; on dit que la courbe est une véritable parabole ; si an contraire DG — EB — 0, nous allons
voir que la courbe se décompose en deux droites parallèles. Remplaçons
