B^ EB
on efTet A par — et D par -^- dans l'équation et multiplions
tous les termes par G; elle devient
B'^x2 H- 2BGxy + CY- + 2EBjr -+- 2ECy -f- FG = 0 ,
ou bien
( l\x -f- G,t/)^ + 2Ei B^ H- Gv) H- FG = 0 ;
le premier membre est un trinôme du second degré par rapport à Bj- I- Gy ; il se décompose en deux facteurs, smis la forme
( Bjt -h G.v — h') [^x -\- Gi/ — h"),
h' et h" étant les deux racines du trinôme ; l'équation de la courbe se décompose dès lors en deux équations du premier degré représentant deux droites parallèles ou confondues. Ges deux droites peuvent être considérées comme deu\ asymptotes parallèles à distance finie.
234. Gomme autre exemple de détermination d'asymptote, considérons la courbe représentée par l'équation
où a est une constante positive. On a 9,„(l , ci == l -f-c-\ et ré<|uation (4) a une seule racine réelle c ^= — 1 .
o'„,i\,c) est égal à 3r- et <p,„i(l,c) à — 3flrc; en faisant c - — 1 , réipiation i (i i donne (/ — — a ; la courbe a une seule asymptote réelle représentée par Téquation
Pour construire la courbe, nous remarquerons d'abord qu'elle passe à l'origine, et qu'elle y a un point double (n" 220); les tangentes en ce point sont représentées par ré([uation xy =rz 0 et sont les deux axes de coordonnées.
L'équation est du troisième degré par rapport à y, et en l'ordoniuml, elle s'écrit
ty • — 'Aaxy -f- ^'^ =^ 0 ;
C0NSTRUCT10>' DE COURBES PLANES
nous savons qu'une équation du troisième degré a trois racines réelles si la quantité 4/)' -f- 21 q^ est négative, une racine double si cette quantité est nulle, et une seule racine réelle si elle est positive. 4/)* -h llq- a pour
valeur 27j:^(.r' — 4a^) ; si x est compris entre 0 et «v4, il y a trois valeurs de y réelles ; leur produit — x^ est négatif, leur somme est nulle, par suite deux des valeurs de y sont positives et la troisième négative.
Si X est égal à a\h, les deux valeurs positives de y sont confondues; si X est >r7\/4, y a une seule valeur réelle négative, et si x est <[0, y a une seule valeur réelle positive.
La courbe a la forme de la figure 64 ; on Tappelle folium de Descaries.
235. Cas où les coordonnées sunl fonctions d*un paramètre. — Coupons la courbe précédente par une droite issue de Torigine et de coefficient angulaire /; on
obtient les abscisses des points de rencontre en faisant y — tx dans
réquation de la courbe, ce qui donne
t'ig. 64.
(I |- li)xi--'^alx^ = 0.
Cette équation a une racine double nulle, qui correspond à deux points de rencontre de la droite et de la courbe confondus à l'ori-
ffine ; la troisième racine est égale à - — — . > ^t est Tabcisse du
dernier point de rencontre M de la courbe et de la droite ; l'ordonnée de ce point est égale à ix, de sorte que les deux coordonnées ont pour valeurs
3al
310 APPLHIATIUNS GÉOMÉTKIOLES
Elles sont ainsi exprimées au moyen d'un même paramètre ty et lorsque / prend foutes les valeurs possibles de — ao à -hac, elles fournissent les points successifs de la courbe.
Le procédé que nous venons d'indiquer pour exprimer les coordonnées des points d'une courbe au moyen d'un paramètre se généralise à d'autres courbes que le folium. Si une courbe algébrique est rencontrée en un seul point variable M par les lignes successives d'une famille de droites ou de courbes dépendant d'un paramètre /, les coordfjnnées de ce point s'expriment facilement au moyen de ce paramètre, et les expressions sont rationnelles.
l*ar exemple, une droite tournant autour d'un point (ixe d'une coni(|ue rencontre la courbe en ce point et en un seul autre point variable ; les coordonnées de ce dernier point s'expriment rationnellement au moyen d'un paramètre. De même si une courbe du troisième ordre présente un point double, comme le folium, toute droite tournant autour du point double rencontre la courbe en un seul point variable.
Lorscpie l'on veut construire une courbe dont les points ont des coordonnées fonctions d'un même paramètre l,
on étudie la variation des deux fonctions /" et cp lorsque t varie de — oc à } X, et l'on dresse un tableau des valeurs remarquables de ce paramètre; on détermine en particulier celles qui annulent j: ou y, ou les rendent infinis, ou les rendent maximum ou minimum. Le
coefficient an£>:ulaire dune tangente est éiçal «à —^ ou à t, - .
(Ix fil)
Si pour une valeur de / finie ou infinie, x et y sont simultanément nuls, la courbe passe à l'origine, et le coefficient angulaire de
la tangente en ce point est la limite du rapport -^ ou de -^ .
X ax
Si une valeur de I rend infinie une des coordonnées, par exemple y, tandis que l'autre .r reste finie, la courbe a une asymptote parallèle à 0//, a>ant pour abscisse la valeur finie de x.
Si une valeur de / rend x et y simultanément infinis, la courbe a encore une branche infinie; pour déterminer l'asymptote à cette branche, s'il en existe, on calcule son coefficient angulaire (n° 229) en
cherchant la limite v de -^ lors(|ue f s'approche de la valeur consi-
CONSTRUCTION DE COURBES PLANES
dérée, puis on calcule Tordonriée à rurigine en cherchant la limite d de y — ex .
Si Ton considère par exemple la courbe définie par les équations (0 S on voit que x et y sont nuls simultanément pour /-O et pour
f =^':c\ les limites de '-L sont respectivement égales à 0 et à Tx,
et Ton voit que la courbe a pour tangentes à l'origine les deux axes de coordonnées: .r et y sont infmis pour t -— — \ \ la limite de -^
est alors égale à — 1 et celle de y t x à — « ; on en conclut que la droite
if^—x — a est asymptote, comme nous l'avons déjà trouvé.
286. Cycloîde. — Comme exemple de courbe transcendante dont les coordonnées s'expriment au moyen d'un paramètre l, nous mentionnerons la cycloîde ; on appelle ainsi la courbe décrite par un point M d'une circonférence roulant sans glisser sur une droite.
Prenons cette droite comme axe de x, et comme origine O une des positions du point mobile M lorsqu'il est situé sur celte droite \fig, 65) ; il résulte de ce choix que dans la position de la circonférence
Kig. (m.
mobile pour laquelle son centre esl situé sur l'axe des ij en C„, le point décrivant la courbe esl confondu avec le point 0.
Supposons que la circonférence occupe une nouvelle position C après avoir roulé sur le segment OA de Ox ; le point décrivant est passé de 0 en M, de telle sorte que l'arc AM est égal à AO, et de même sens ; si ncms désignons |)ar l l'angle ACM dont a tourné
le rayon passant par M à partir de la position initiale CoO, et par a le rayon de la circonférence, nous avons
(OAi -=farc AM) -^a(.
Considérons nn système d'axes auxiliaires Cri , Cyi issus du point C et dirigés respectivement en sens inverse de Ox et 0^ ; les coordonnées du point M dans ce syslème sont
cil = ' HM ) — a sin / , J/i — 'CH) = a cos i ;
dans le système primitif, on a, d'après la disposition de Cji, Cï/i,
j- — (OA ) — Xi = ail — sin /), i/^(OCo)— .yi = «il — cos/j.
Telles sont les expressions des coordonnées d'un point de la cycloïde en fonction du paramètre /; lorsque celui-ci varie de 0 à 2?:, la circonférence roule d'une longueur égale à 2i:a ^ et le point M revient en O' sur O.c après avoir décrit Tare OPO' de cycloïde. Lors(|ue ( prend des valeurs comprises entre 2:1 et 4?:, les valeurs de .r et de ?/ ne difTèrent des précédentes qu'en ce que x est augmenté de 2za ; on obtient ainsi un nouvel arc O'P'C identique au premier, et ainsi de suite ; il en est de même si l prend des valeurs négatives.
La courbe passe à l'origine ; le coefficient angulaire de la tangente
encepointestégalàlavaleurde --^ pour / = 0; or, on a ^-JL=
' ® dx * ' dx 1— cos/ '
ce rapport se présente pour / — 0 sous la forme — ; en appliquant
la règle de l'Hôpital (n° 140), la vraie valeur de -^ est égale à celle du
dx
cos t (luotient des dérivées - — , et il est infini pour / = 0 ; on en conclut
sm /
que la tangente à l'origine est l'axe des y. Le point 0 est un point de rebroussement de la courbe, et il en est de même des points C, 0"
Si l'on fait rouler la circonférence C sur une autre circonférence, et extérieurement, la courbe décrite par le point M s'appelle une cpicycloïde ; si la circonférence C roule intérieurement sur une autre circonférence, la courbe décrite par M s'appelle une hypocycloïde.
CONSTRl CTION DE COURBES PLACES
