Construction d*une courbe en coordonnées polaires

Nous supposons la courbe représentée par une équation entre le rayon vecteur p et Tangle polaire 0 résolue par rapport à p, de la forme

Nous ferons varier 0 de — x à -foc et nous étudierons les variations de la fonction p; si p s'annule pour une valeur de 0, par exemple pour 0„, la courbe passe à l'origine, et la tangente en ce point est la droite faisant avec Taxe polaire l'angle %; cette droite est en elTet la limite des positions d'une sécante passant par l'origine et un point voisin correspondant à 0 lorsque 0 tend vers % .

Considérons par exemple la spirale dWrchimède représentée par l'équation

p -- crO ,

où a est une constante positive; p s'annule pour 0--0, par suite

la courbe est tangente à l'origine à Taxe polaire. Lorsque 0 varie de 0 à -h 3c , on obtient une portion de courbe OABCDK . . . , dont les ravons vecteurs sont positifs i/i(f/. on i; lorsque 0 varie de 0 à — X , on obtient ime autre portion de courbe OAB'CIVE . . . dont les ravons vecteurs sont négatifs; la valeur absolue de p correspondant à un angle négatif tel que (0-r, OM) doit alors être portée sur la direction opposée OM'. On vérifie que les deux poiiions de la courbe

sont symétriques par rapport à la perpendiculaire Oy à Taxe polaire. On détermine la tangente en un point par Tangle V qu'elle fait

avec le rayon xecteur; nous avons trouvé (n° 222) qu'il est donné par

la formule

pr/0 0

Kijt. 66.

•gV

31 i APPLICATIONS GÉOMÉÏKIQUES

nous avons constaté que l'angle V est constant dans la spirale logarithmique dont Téquation est

Dans la plupart des cas, le rayon vecteur p dépend non de l'angle ô immédiatement, mais d'une ou de plusieurs lignes trigonométriques de cet angle 0, ou bien de ses multiples ou de ses sous-muUiples, comme dans les équations suivantes

p :^ r/ cosO-l /; sin-0,

p — fl sm— ;

il n'est pas nécessaire alors de faire ^arier ô de — « à -+-oc ; dans

le premier exemple, il suffît défaire varier 0 de 0 à 2::, car, pour

les autres valeurs de Fangle polaire, les lignes trigonométriques et p

reprennent la même valeur; dans le second exemple, il suffit de faire

varier 0 de 0 à 6:r, afin que l'arc sous le signe sinus varie de

Dans beaucoup de cas, il est même possible de resserrer l'inter-

uille de variation de 0; dans le premier des exemples que nous venons

de mentionner, nous remarquerons que si l'on donne à 0 deux valeurs

telles que x et 2- — a, ou obtient la même valeur pour p; il suffit

donc de faire varier 0 entre 0 et ?: pour construire une première

portion de la courbe, el de prendre ensuite la syméirique de cette

portion par rapport à Oj", celle deuxième partie correspondant aux

valeurs de 0 comprises entre n el 2::.

Dans le second exemple, on peut faire varier d'abord 0 de 0 à -\y-;

soit a une valeur de cet intervalle; on ^oit (|ue pour 0 - - I^tt — x on a la même valeur de p , et pour 0 3z i a ou 0 -- On — a on a une valeur de p égale et de signe contraire à la première.

238. Liinuçoii de Pascal. — Étant donnée une circonférence et un point 0 sur cette courbe, si Ton porto sur cbaque rayon vecteur OM (/?(/. 67) un segment MP constant, le lieu du point P s'appellelimaçon de Pascal; nous allons déterminer son é(|uation en coordonnées polaires et le construire.

CONSTRUCTION DE COLRBES PL\NES

3Io

Prenons le point 0 comme pôle et le diamètre OA comme

axe polaire, désignons par a le diamètre de la circonférence et par b la valeur du segment MP ; comme le segment (OM) est égal à a cos 6 , le rayon vecteur du point P a pour valeur

p =r a cos 0 + 6 :

le limaçon est la courbe représentée par l'équation précédente dans laquelle nous ferons varier 0 de 0 à 27:.

Supposons b positif; lorsque 0 varie de 0 à '^ ou de ^ à 27r, cos 0 est positif, et Ton a en valeur absolue p --^- OM -h MP; si 0 varie de

cos 0 est négatif, et p

est égala ladiflërence des valeurs absolues des deux segments tels (|ue MP' et OM' i //y. 67 u D'après cela, à chaque point M de la circonférence correspondent deux points P et Pi du limaçon, le premier relatif à un angle 0 compris

entre 0 et

Fig. 67.

OU entre - et 2 2

Fig. 68.

2.T, le second relatif à un angle 0 différant de z du précédent; ils sont tels que MP et MP| sont égaux à b en valeur absolue, mais de sens contraires; on en conclut que si Ton change le signe de 6, la courbe n'est pas modifiée: on peut donc se limiter au cas où b est positif.

Si Ton a b'^a, p ne s'annule jamais et reste positif; la courbe a la forme de la figure G7. Si l'on a au contraire b<ia, p s'annule pour

deux valeurs de G comprises Tune entre '' et :r, l'autre entre -

et - ;- 1 et devient négatif dans

l'intervalle de ces deux valeurs, la courbe a la forme de la figure 68 et présente un point double au pôle; les tangentes en ce point sont déterminées, comme nous l'avons dit au n° précédent, par les Aaleurs de 0 annulant le ravon vecleur.; Si l'on a enfin b = a , ^ reste positif et s'annule pour ô — z; la courbe a la forme de la figure 69:

elle présente au pôle un point de rebroussement ; on l'appelle quelquefois

dans ce cas cardioïde.