CHAPITRE IV

240. Lieu géométrique. — On appelle lieu géométrique rensemble (les points jouissant d'une propriété commune. Bien souvent cette propriété fournit immédiatement une relation entre les coordonnées de l'un de ces points et cette relation est l'équation du lieu ; cVst ainsi r|ue nous avons obtenu par exemple l'équation de la circonférence (n" 89) ; nous allons indiquer un autre exemple.

Cherchons le lieu des points dont le rapport des distances à un

point et à une droite fixes est constant. Prenons [fig. 71) le point fixe 0 comme origine, et Taxe des x perpendiculaire àla droite; soit a l'abscisse de cette droite; si ix, y) sont les coordonnées d'un point M du lieu, les distances MO et MP de M au point et à la droite, ont pour valeurs

Fig. 71.

écrivons que le rapport

MP-= I a-x MO

est égal à

un nombre donné

nous aurons

en élevant au carré, et faisant passer tous les termes dans le premier membre, nous aurons l'équation du lieu sous forme entière

x' ^y' — e'ift — x '^0,

.iBL.

OU bien, en ordonnant le premier membre,

x\\ -^ e2) -+- y^ -f- 2e^ax — e^a^ ^ 0 .

Cette équation représente une conique, et Ton a B- — AC — e^ — 1 ; d'après ce que nous avons dit au n° 233, suivant que e est inférieur, supérieur ou égal à Funité, la conique est du genre ellipse, du genre hyberbole ou du genre parabole. Le point 0 est appelé foyer et la droite donnée directrice de la conique.

241. Il arrive souvent qu'on détermine chaque point M d'un lieu géométrique comme intersection de deu\ lignes L et L' ; ces lignes venant à varier simultanément, le point M se déplace en décrivant le lieu cherché. Par exemple, le lieu du sommet M d'un angle droit dont les côtés passent par deuv points fixes A et R est l'ensemble des points M tels que chacun d'eux soit rintersection d'une droite passant par A et de la perpendiculaire à celle droite passant par R.

écrivons les équations des deux lignes L et IV rapportées à un même système d'axes ; nous supposons pour fixer les idées (pie l'on emploie les coordonnées cartésiennes jr et y, mais les raisonnements que nous allons faire s'appliqueraient également à d'autres systèmes de coordonnées. Les équations de L et L' doivent contenir un paramètre variable, et être de la forme

n désignant le paramètre ; les coordonnées du point M commun aux lignes qui correspondent h une même valeur de a sont alors les solutions X et y communes aux équations ( r..

Si l'on résout ces équations par rapport à x et y, on a les expressions des coordonnées de M au mov en du paramètre a, et lorsque a varie, on obtient les dilTérents points du lieu cherché.

Si l'on veut obtenir l'équation de ce lieu, il faut, comme nous allons le montrer, éliminer a entre les expressions trouvées pour x et y, ou bien, ce qui est plus simple, entre 1rs équations 1 1 1 (pii servent à définir ces coordonnées. Kn effet, si x el // sont les coordonnées d*nn point M commun aux deux lignes L et L' représentées par les équations 1 1) pour une même valeur de a , ces relations sont salisfattcs pour les mêmes \aleurs attritiuées ix x, y et a ; on peut alors

APPLICATIONS fiÉOMÉTRIQUES

dire quelles ont par rapport à la lettre a une solution commune ; par suite les coordonnées x et y du point M satisfont à Téquation obtenue en éliminant a entre les équations (1).

Inversement, la courbe représentée par Téquation ainsi obtenue est le lieu cherché ; en effet, si les coordonnées x et y d'un point M satisfont à cette équation, c'est qu'il existe une valeur de a qui, avec celles de x et de y, satisfait à la fois aux deux équations (1); par conséquent le point M est à rintersection de deux lignes correspondant à la même valeur de a\ il fait donc partie du lieu cherché.

242. Exemple. — Lieu des milieux des cordes iV un cercle passant

par un point fixe P. Prenons l'origine au centre du cercle et Taxe des x passant par le point P ificf, 72) ; soit a Tabscisse de ce point ; le milieu I d'une corde MM' issue de P esU'intersection de celle corde et de la perpendicidaire qu'on peut lui mener du point 0.

Écrivons les équations de ces deux lignes ; si m est le coefficient angulaire de la première,

celui de la seconde est égal à — . in° 80', et ces droites sont représentées par les équations

ces deux lignes, dont le point commun décrit le lieu, dépendant du paramètre variable m ; on aura ré(|uation <le ce lieu en éliminant m entre les deux é(|uations : en tirant m de la seconde et portant dans la première la valeur trouvée, on obtient la relation

cette équation rendue entière peut s'écrire (^^ x^-i y- — ax-- 0;

elle représente la circonférence ayant OP pour diamètre.

Remarque. — Lorsque la sécante issue de P ne coupe pins la circonférence donnée, les points M et M' n'existent plus et l'on ne peut plus définir géométriquement le milieu de la corde ; le lieu géométrique cherché se compose donc seulement des points de la circonférence trouvée situés à l'intérieur de la première. Mais le but des méthodes de la géométrie analytique est précisément de remplacer les constructions géométriques par des calculs algébriques, et ceux-ci subsistent quand bien même les constructions ne seraient plus possibles ; c'est précisément ce qui arrive ici.

Pour donner à la question posée toute sa généralité, nous définirons algébriquement le milieu I d'une corde de la façon suivante : calculons les coordonnées des points communs à la sécante et à la circonférence donnée ; elles sont fournies par la première des équations (2) et par celle de celte circonférence ; en particulier, les abscisses de ces points sont les racines d'une équation du second degré qu'on forme en éliminant y entre les deux équations, et l'abscisse du point 1 est égale à la demi-somme de ces racines. Lorsque la sécante ne coupe pas le cercle, les racines sont imaginaires, mais leur demi-somme est toujours réelle ; c'est cette deini-sonnne que l'on pi*end comme abscisse du milieu I de la corde MM' dans tous les cas; de la même manière la demi-somme des ordonnées des points M et M' est prise comme ordonnée du point I . En effectuant les calculs, on peut vérifier que les coordonnées ainsi définies pour le point I sont les mêmes que celles qui sont données par les équations (2), et cela quelle que soit la valeur de m . La circonférence entière, dont l'équation (3) est le résultat de l'élimination de m entre ces équations (2), est alors le lieu des points I ainsi définis pour toutes les cordes issues du point P.

243. Il arrive quelquefois que les équations des lignes L et \J qui se coupent en M renferment deux paramètres variables a et b, ceux-ci étant liés par une équation particulière ; on a ainsi, pour définir les points M du lieu, un système d'équations tel que

(4j fix, y, a, b)^0, cpfjr, i/, rt, 6) ^ 0, ^{a,b) — 0.

Ce cas ne diffère pas du précédent, car on peut supposer que l'on lire 6 de la dernière relation en fonction de a et qu'on porte la

VoGT. — Math. sup. 21

APPLICATIONS GÉOMÉTRIOIES

valeur trouvée dans les deux premières; on est alors ramené à un système de deux relations analogue à (1).

On aura l'équation du lieu en éliminant a entre lés deux relations ainsi formées, ou, ce qui revient au même, en éliminant a et b entre les trois relations (4).