Enveloppe d'une famille de lignes
ligne dont Téquation
Considérons une
FIl'. 7:J.
renferme un paramètre a\ en donnant à a toutes les valeurs possibles,
on obtient une infinité de lignes dont l'ensemble constitue ce qu'on appelle une famille de lignes.
Figurons les positions C, C, C", . . . de la ligne correspondant aux valeurs a, a\ o\ ... du paramètre [fîg, 73 r. on constate généralement que l'ensemble de toutes ces lignes recouvre une partie du plan et n'ompièle jamais surune autre partie, et déplus, que ces deu\ parties sont séparées par une ligne E à laquelle les lignes d, (!', ('/', . . . restent tangentes. Cette ligne E est appelée Venveloppe de la famille de lignes considérées.
Si les choses se passent comme nous venons de le dire, on constate graphiquement sur la figure qu'une ligne C est coupée par une ligne voisine C en un point M voisin de l'enveloppe E, et que la limite de ce point M, ([uand (]' tend vers C, est le point N où la ligne C touche cette enveloppe.
Nous allons préciser ces notions purement expérimentales et leur donner une forme anal}ti(|ue.
Vwo ligne C de la famille correspondant à la valeur a du paramètre est coupée par une ligne voisine C correspondant cî la valeur a \ \a en un ou plusieurs points; lorsque la tend vers zéro, C tend vers C, et les points communs à ces deux lignes ont des positions limites que nous appellerons joom^s caractéristiques de C; le
lieu des points caractéristiques de toutes les lignes C sera par définition Tenveloppe de ces lignes ; nous allons déterminer ce lieu par le calcul.
Soient
les équations des lignes C et C, déterminant les coordonnées des points communs à ces deux lignes ; on peut remplacer ce système d'équations par le système équivalent
Lorsque Aa tend vers zéro, le premier membre de la deuxième des relations précédentes a pour limite la dérivée /"«i-c, y, «) de f par rapport à a\ on en conclut que les limites des points communs à C et C, c'est-à-dire les points caractéristiques de C, sont fournis parles deux équations
(6) f{x,y,a)r^O, f'Jx,y,a) = 0,
D'après ce que nous avons dit au n° 241, on déterminera Téquation de Venveloppe, qui est le lieu de ces points, en éliminant a entre les équations (0) ; on peut aussi résoudre ces équations (6) par rapport à x et à y ; on obtient dans ce cas les coordonnées des points de l'enveloppe en fonction du paramètre a .
245. Nous allons vérifier que le lieu ainsi trouvé, que nous appellerons E, est bien tangent à toutes les lignes C, et touche chacune d'elles en ses points caractéristiques ; cette propriété sera la justification du mot enveloppe appliqué à la courbe E.
Soit N un point de coordonnées {x,y) qui est le caractéristique de la courbe C correspondant à la valeur fixe a du paramètre; l'équation de la tangente en ce point à C est, comme nous l'avons vu au n** 214,
(X- x)/-;-+-(Y — 1/)/*;-0, a étant traité comme une constante.
APPTJCATIONS r.ÉOMÉTRIQt'KS
Cherchons maiiiienant la tangente à la courbe E au point N; il fitut supposer cette fois que l'on tire de la seconde des équations (6; la valeur de a en fonction de x et de y y et qu'on la porte dans la première ; on calculera alors les di^'rivées du premier membre de celte équation en considérant a comme fonction des variables x et y\ on obtiendra, ainsi pour représenter la tangente à E au point N Téquation
(X - x) (/; -^ f'^a:,) 4- (Y - y) [f'y 4- f'aa'y) - 0 ;
mais fa est nul par suite de la seconde équation (G) ; il reste donc la même relation que précédemment. On conclut de là que les tangentes en N aux lignes C et E sont ccuifonrlues.
2^0. Remarque. — Considérons pour un instant la première des relations (Oi comme une équation par rapport à l'inconnue a\ nous devons, pour trouver l'équation de l'enveloppe, éliminer a entre cette équation et sa dérivée ; mais cela revient à exprimer que l'équation aune racine double [\V* 198j; nous en concluons que l'on obtient ré(|uation do l'enveloppe d'une ligne C en exprimant que l'équation de cette ligne a une racine double par rapport au paramètre. Cette remarque est surtout applicable Iors(|ue l'équation renferme le paramètre dune manière algébricpie au second degré.
Exemple. — Cherchons l'enveloppe de la droite représentée par ré(|uation
u — mx -h -f— ,
où m est un paramètre variable ; en rendant l'équation entière, elle s'écrit
en écri\ant ((u'elle a une racine double, on obtient ré({nation de l'enveloppe; elle est
y^ — 2px-^{}\
l'enNcloppe est une parabole; ré<|uation donnée représente, lorsque m varie, les tangentes successives à cette courbe.
LIEUX GÉOMÉTRIQL'ES. ENVELOPPES DE LIGNES PLANES 32o
247. Caustique par réflexion. — Comme autre exemple, cherchons la caustique par réflexion des rayons lumineux parallèles entre
eux tombant sur un miroir sphérique concave. Si Ton considère seulement un plan de section passant par un diamètre du miroir parallèle aux rayons lumineux, et les ravons situés dans ce plan, on est ramené au problème suivant :
Étant donnée une demi-circonférence de rayon /• ayant pour centre l'origine [pq. 74 1, à chaque droite \\\ parallèle à Oj* et rencontrant la demi-circonférence en B , on fait correspondre une droite BC telle que le rayon OB soit la bissectrice de l'angle ABC; trouver Tenveloppe de BC.
Soit i l'angle d'incidence; la droite BC fait avec i)x l'angle 2i, et passe par le point B de coordonnées (rcos/, rsin/); son écjuation est
if — r sin «= tg 2/( j: — r cos i] ,
ou bien, en multipliant tous les termes par cos 2/',
Fig. 14.
X sin 2/ — y cos 2i --^ r sin i .
Pour trouver l'enveloppe, on forme l'équation dérivée de la précédente ; c'est
( 8 ) 2j- cos 2t -f- 2y sin 2/ - - r cos / .
Les équations (7) et (8) défînissent l'enveloppe; en les résolvant, on a
2^- -- r(^2 sin f sin 2/ -f cos / cos 2i] — r cos /( 1 h- 2 sin- i\
2y ^^ r{%\\\ 2i cos i — 2 cos 2/ sin i\ ■-- 2r sin'' / ;
on pourrait éliminer / entre ces relations si l'on voulait l'équation du lieu, mais il est préférable de laisser x et // exprimés au moyen de /'.
Lorsque /--O, on trouve x^=~, y=^0, c'est-à-dire le foyer F du miroir; l'enveloppe a la forme indiquée figure 74.
248. Cas de deux paramètres. — Supposons qu'une ligne C dépende de deux paramètres a et h liés par une relation donnée ; soient
l'équation de la courbe, et
la relation entre les paramètres. En tirant b de la seconde en fonction de rt, et portant la valeur trouvée dans la première, il ne restera plus dans celle-ci que le paramètre a, et Ton sera ramené au cas précédent ; on peut cependant se dispenser de résoudre la deuxième équation par rapport à ^ , et conduire les calculs d'une manière plus symétrique, que nous allons indiquer :
En supposant pour un moment b remplacé dans l'équation (0) par sa valeur en fonction de a, nous devons joindre à cette équation sa dérivée par rapport à n ; nous avons de cette façon
mais b est lié à a par l'équation (10), et celle-ci donne par dérivation
si nous éliminons -j- entre ces relations, nous obtenons
da
Il suffit d'éliminer a et b entre les équations (9), (10) et ri 1 ) pour avoir l'équation de l'enveloppe.
Exemple. — Enveloppe d'une droite qui détermine avec les axes de coordonnées rectangulaires un triangle de surface constante égale à S.
Si a et b sont les segmenis déterminés par la droite considérée sur les axes, celle droite a pour équation (n*^ 84)
f\Xy U, a, b) rizz h 4-— 1 =^0;
LIEUX GÉOMÉTRIQUES. — ENVELOPPES DE LlCtNES PLANES 327
la condition imposée à la droite s'exprime par la relation La relation ill) devient ici
a' ir X y .
l'élimination de n et de b entre les trois relations est immédiate ;
d'après la première, — et j^ qui doivent être épau.x, ont pour valeur
\f ' d'où l'on a a — '2xy b =^2y, et en portant ces valeurs dans la seconde, on obtient Téquation de l'enveloppe, qui est
elle représente une hyperbole équilatcre rapportée à ses asymptotes (n*» 96).
