COURBURE DES COURBES PLANES
249. Centre et rayon de courbure. — Considérons d'abord un cercle de centre C et de rayon R et sur ce cercle un arc quelconque MM' ; les normales aux extrémités de cet arc se coupent au point C;
de plus, si a estTangle formé par ces normales, on a
lî ftrc MM^ .
tt — 1
nous allons généraliser ces notions dans le cas d'une courbe quelconque.
Soit ifig. 75) M un point d'une courbe et MN la normale en ce point ; considérons un point M' voisin du premier et la normale en ce point M'; elle coupe la première en un point N.
Si l'on fait tendre M' vers M, le point N tend vers une position limite C que Ion appelle centre de courbure de la com'be au point M, et CM est appelé rayon de courbure. Nous allons déterminer la position du point C, et nous démontrerons ensuite que le rayon de courhure est égal à la limite du rapport de Tare MM' à Tangle MNM' des deux normales.
Le problème de la détermination du point C est identique à celui
Kig. 15.
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que l'on a à résoudre lorsque l'on cherche Tenveloppe des normales successives à la courhe donnée ; le point C est en effet la limite du point de rencontre de MN avec la normale infiniment voisine, et c'est le point de contact de MN avec son enveloppe.
D'après ce que nous avons vu dans le chapitre précédent, il est donné par l'équation de la normale et par la dérivée de cette équation par rapport au paramètre variable qu'elle renferme ; ce paramètre est ici la quantité au moyen de laquelle s'expriment les coordonnées x et y des points successifs de là courbe donnée.
L'équation de la normale (n° 21 o) est
\ 1 1 (X — x]djc -4 (Y — if)dy = 0 ;
annulons la dérivée ou, ce qui revient au même, la différentielle du premier membre en considérant x et y comme fonctions d'un même paramètre ; nous obtenons de cette façon
1 2 ) ( X — xul'x -h (Y — y)d'y — dx^ — dy'- = 0 .
Il suffit de résoudre ces deux équations par rapport à X et Y' pour trouver les coordonnées de C ; nous obtenons ainsi les formules
f3) X X-- àyjdx^'^dyh ^ dxjdx'-hdy')
dx d-y — dy d-x ' ^ dx dhj — dy d-x
Le rayon de courbure, que nous appellerons R, est égal à
v'(X — x)^-|-(Y — y)^, et sa valeur est
dx d^y — dy d'^x
le signe -h ou — étant choisi de telle façon que le second membre ait une valeur positive.
Si X est la variable indépendante et y une fonction donnée de x, on peut introduire dans les équations (3) et (4) les dérivées de y, en posant dy=y'dx, d^y = y'dx- et d^x — 0\ on a ainsi les formules simples
250. Nous allons démontrer que H est égal à la limite du rapport de l'arc MM' à l'angle MiNM' des deux normales; remarquons que
cet angle est égal à Tangle dos deux tangentes eu M et M'. Si nous désignons par x l'angle de la tangente en M avec Ox, et par a-f- Aa l'angle de la tangente en M' avec le même axe, Tanglc MNM'
est égal à la valeur absolue de Aa. En désignant par A,? l'arc MM',
A« nous avons à démontrer que H est la limite du rapport . c'esl-
k-dire est égal fi la valeur absolue du (luotient -— des diiïérentielles de .s et de a .
Or nous avons déjà m'' 101 1 du— ydx- f dy'^ ; il nous reste à évaluer f/a. Nous savons que le coefficient angulaire de la tangente MT est égal à -—-, et a pour valeur tga; nous avons donc
arc Ig --
d'où, en diderentiant.
. 1 dx d-y — dy d^x dxd'^y — dy d^x
nous avons par suite "~ - .^ f, ,-,,- > ^1 la valeur absolue de
r/a dx d'y — dy d'-x
cette quantité est bien identique à R.
11 résulte de ce qui précède qu'un pelit arc d'une courbe pris dans le voisinage d'un de ses points M diflere peu d'un petit arc du cercle ayant pour centre le rayon de courbure et pour rayon le rayon de courbure en ce point. Ce cercle s'appelle cercle de courbure et quelquefois cercle osculaleur au point M. On appelle courbure en un point l'in-
verse du ravon de courbure, c'est-à-dire la valeur absolue de
ds
251. Développée. — Le lieu des cenlres de courbure d'une courbe plane s'appelle la dé\eloppée de cette courbe ; cette ligne n'est autre (|ue renveloppe des normales, et chaque normale est tangente à la développée précisément au centre de courbure.
La développée est définie par les éijuations (1) et (2i, ou encore par les écpiations ;3i qui •déterminent les coordonnées (X, Yi de ses points successifs. Toute courbe (|ui a pour développée une courbe donnée s'appelle une développante de cette courbe.
