COURBURE DES COURBES PLANES

Exemple, — Développée de V ellipse. — Nous savons que les coordonnées d'un point M de Tellipse sont exprimées au moyen du paramètre angulaire cp par les formules

X =za cos (p , ly — 6 sin '^ .

L'équation de la normale est, d'après la formule (1 ),

— (X — a cos (p w sin 9 -f^ (Y — h sin ^)6 cos cp ~ 0,

ou bien, en représentant par c^ la quantité a- — 6^,

a\ sin ^ — 6Y cos 9 = c'^ sin sp cos 9 ;

sa dérivée par rapport à 9 est

a\ cos 9 -\- b\ sin 9 = c*(ros^ 9 — sin"^ 91 ;

on déduit de là, en résolvant les deux dernières é(|uations, les coordonnées du centre de courbure ; elles sont

X = — cos-^ 9 ,

Y — ;- sin^ 9 .

En faisant varier 9 de 0 à 2:: , on obtient tous les points de la

développée de l'ellipse ; quant à l'équation de cette courbe, elle résulte de l'élimination de 9 entre les formules précédentes ; en écrivant que cos- 9 -h sin- 9 — 1 , on a

La courbe a la forme indiquée dans la figvu'e 76 ; elle a quatre points de rebroussement situés sur les axes, et ces points sont les centres de courbure rela- ^^^- '^- tifs aux quatre sommets.

Les tangentes à la développée menées par un point du plan sont les normales à Tellipse issues de ce point; si celui-ci est intérieur à la développée, on peut tracer quatre normales réelles, et s'il est extérieur, on ne peut en tracer (|ue deux.