CHAPITRE VI

TANGENTES ET NORMALES AUX FIGURES DE L'ESPACE

252. Tangente en un point d*iino courbe de Tespace. — Comme nous l'avons déjà dit, la tangente en un point M d'une courbe est la limite des positions d'une sécante passant par ce point et par un point voisin M' situé sur la courbe lorsque ce point M' se rapproche indéfiniment du premier. Soient, en coordonnées cartésiennes, x, y, z les coordonnées d'un point M de la courbe; nous supposons que ce sont des fonctions d'un même paramètre: soient x-\-lx, ^-f-Ay, j:-i-As celles du point voisin M' ; en raisonnant comme au n** 213, nous avons pour représenter la sécante MM' les é(|uations

X — X Y — y Z — z Aj- Ay Az '

la limite de cette droite, c'est-à-dire la tangente, sera représentée par les équations obtenues en remplaçant les quantités infiniment petites parleurs difrérentielles, comme nous l'avons expliqué au n** 160; les équations de la tangente sont par suite

dx dy flz

Si l'on égale ces rapports deux à deux, on obtient les équations des projections de la tangente sur les plans de coordonnées ; mais ces équations sont précisément celles que l'on obtiendrait en cherchant les tangentes aux projections de la courbe sur ces plans (n° 213, équation {3)); nous concluons de là que la projeclion sur un plan de coordonnées de la tangente à une courbe de V espace est tangente à la projection de cette courbe.

TANGENTES ET NORMALES AUX FIGURES DE L ESPACE

Cette propriété s'étend à la projection sur un plan quelconque ; il ;t facile du reste de la démontrer géométriquement.

Comme exemple, considérons la courbe définie par les équations

x =: R cos 0 , y = ^ sin 0 ,

/fO,

0 est un paramètre variable; pour construire le point de cette

courbe correspondant à une valeur de ce paramètre, on prend sur le cercle de centre 0 et de rayon R tracé dans le plan des xy un point P tel que [Ox, OP)— Ô (/z-y. 77), et sur la parallèle à i)z tracée par P une cote (PM ) — A*0. On voit que cette cote est proportionnelle à l'arc AP du cercle ; la courbe lieu du point M est une hélice tracée sur le cylindre de révolution de rayon R ayant pour a\e Oz.

LesdifTérenliollesde x, y, z sont

(Ix — — R sin û (K) , ily -r^ R cos 6 Jô,

dz — kd)\

Fig. 77.

en les portant dans les équations (1) .et supprimant le facteur commim c/0, on a, pour représenter la tangente en un point, les équations

X — R cos 0 — R sin 0

R sin 0 Z — A'O

U cos 0

paramètres directeurs de cette tangente sont — RsinO, k\ ceux de Taxe des z sont 0,0, 1 : en employant la forn° 105 donnant Tangie de deux droites, nous voyons que V de la tangente et de Taxe des z est donné par

cos V - — --- - - ; v/R--f A-

cette formule montre que l'angle V est constant; nous avons par suite ce théorème ;

La tangente en un point d'une hélice fait un angle constant avec la génératrice du cylindre passant par ce point.

253. Plan normal. — Le plan mené par un point d'une courbe perpendiculairement à la tangente s'appelle plan normal ; il a pour é(iuation

(X — x)dx -f- (Y — y)dy -f- (Z — z)dz = 0 .

254. Cas de rinierseclion de deux surfaces. — Supposons que la courbe soit représentée par deux équations,

fia-, y, 5).^0, ?(-r,,v^ -)^0;-

en les difîérenliant, on a

C f;,dx-hf;dy-hf-dz = 0.

( (^xdx-h tpv dy -f- ^z dz = 0 ;

ces équations donnent des valeurs proportionnelles à dx, dy et dz, et en les portant dans les relations (i),on obtient les équations de la tangente; mais il est plus simple de remplacer dans les équations (2; (/x, dy et dz par les valeurs proportionnelles tirées des relations (h ; on trouve ainsi pour représenter la tangente les deux équations

(4j (X — x)(p; H- (Y — i/jcf,; -H ( Z — 5)©; ^0.

255. Plan tangent à une surface. — Théorème. — En un point M d'une surface, les tangentes à toutes les courbes passant par ce point et tracées sur la surface sont situées dans un même plan, que l'on appelle plan tangent à la surface au point M.

Soit f[Xy y, z} — {) l'équation de la surface donnée; une quelconque des courbes passant par le point M, et tracée sur la surface peut être considérée comme Tintersection de cette surface et d'une autre, représentée par exemple par réquation <p(x, y, 5) — 0. La tangente en M à cette courbe est donnée par les équations (3) et '4); elle est la droite d'intersection des deux plans représentés par ces équations ; le premier de ces plans ne dépend cjue de la surface donnée et est fixe quelle que soit la courbe considérée passant par M; il contient

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(lôs lors les tangentes à toutes les courbes passant par M , et c'est le plan tangent en ce point à la surface.

11 résulte de là que Téquation du plan tangent en un point d'une surface [[x, y, z) = 0 est

Le raisonnement serait en défaut si /"x, f'y, f[ étaient tous les trois nuls; on dit dans ce casque le point M est un point multiple ou singulier de la surface. Des considérations analogues à celles du 11° 219 s\ippliqueraient à Tétude d'une surface aux environs d'un point singulier : nous mentionnerons seulement ce fait que les tangentes au\ courbes qui passent en un tel point forment en général un cône; par exemple le sommet d'un cône est un point singulier, et les tangentes sont les génératrices de ce cône.

Remarques. — Un plan est déterminé par deux droites qui se coupent; nous en concluons que le plan tangent en un point M d'une surface est déterminé par les tangentes à deux courbes tracées par le l>oint sur la surface, pourvu que ces tangentes soient distinctes. En particulier, s'il existe une droite passant par M et située tout entière sur la surface, elle est à elle-même sa propre tangente et elle est contenue dans le plan tangent.

Si une ligne est l'intersection de deux surfaces, la tangente en un point de celte ligne est contenue à la fois dans les plans tangents en ce point aux deux surfaces, elle est par suite rintersection de ces plans tangents. C'est ce que montrent du reste les équations (M et (4) d\\ n° précédent ; elles représentent les plans tangents aux deuv surfaces f\x^ y, z) — 0, cpi.r, î/, z) = 0, dont la ligne considérée esl l'intersection.

256. Si dans l'équation d'une surface f{x, i/, z\ -0 on remplace

JT, v» 2 pfii' — •> -- •> "- et qu'on chasse s'il n a lieu les dénomina-

teurs, on obtient une équation fix, y, s, /i - 0 qui est homogène; un raisonnement analogue à celui du n" 21 i montre (|ue l'on peut remplacer dans l'équation u)) la quantité xfj, t- «//"y f c/î par — /*,', ft étant la dérivée par rapport à / dans la(|uelle on fait ensuite / ^^ i . L'équation du plan tangent se met alors sous la forme

^^, ^^PPUCATIOSS GÉOMÉTRIQUES

Considérons pnr exemple l'ellipsoïde représenté par Téquation

celte équation rendue homogène devient

et Ton a

fi^-2l;

en faisant dans ces dérivées / dans Téquation (0) et divisant par plan tangent

- 1 , portant les valeurs trouvées 2, on obtient pour réqualion du

— i =rO.

257. Plans tangents passant par un point. — Cherchons les plans tangents à une surface fix, y, z) - 0 issus d'un point Mo (xq, yo, Zq\ comme au n° 217, nous voyons que ces plans sont complètement déterminés dès que Ton connaît leurs points de contact; les coordonnées X, y, z d'un de ces points doivent satisfiûre d'une part à l'équation de la surface, et d'autre part à la condition que le plan tangent passe par le point Mol si Ton prend l'équation du plan tangent sous la forme lO), cette dernière condition s'écrit

•ï'</i -i - yofy I !^ofz -hf'i-^O.

Cette équation et celle de la surface déterminent les coordonnées Xy y y z des points de contact cherchés.

L'équation (7) représente, lorsqu'on y considère j:, i/, z comme coordonnées courantes, une surface que l'on appelle /?o/aire du point M par rapport à la surface donnée ; les deux surfaces se coupent suivant une ligne et tous les points de cette ligne sont les points de contact de plans tangents répondant à la question. Tous ces plans tangents enveloppent un cône de sommet M circonscrit à la surface le long de la ligne précédente.

Lors(iue la surface donnée est du second ordre, la polaire d'un

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point est un plan que Ton appelle plan polaire de ce point par rapport à la surface ; il coupe celle-ci suivant une courbe plane qui est une conique ; les plans tangents à la quadrique issus du point enveloppent le cône circonscrit à cette surface le long de la conique précédente et ce cône circonscrit est du second ordre.

258. Normale à une surface. — La normale en un point {x, y, z) d'une surface est la perpendiculaire au plan tangent en ce point; ses équations sont

par exemple, la normale en un point d'un ellipsoïde a pour équations

VoGT. — Math. sup. 22