CHAPITRE VII

259. Génération de surfaces. — Le lieu des points satisfaisant à une condition donnée est une surface ; un procédé général pour trouver l'équation de cette surface consiste à traduire la condition par une relation entre les coordonnées d'un point du lieu ; c'est ainsi qu'on trouve l'équation de la sphère en écrivant que la distance de l'un de ses points au centre est égale au rayon.

Pour donner un autre exemple, nous allons chercher l'équation d'un cône de révolution ayant pour sommet l'origine 0, pour demiangle au sommet un angle donné V et pour axe une droite faisant avec les axes de coordonnées des angles donnés égaux à a, p, y.

Soit M un point quelconque de la surface, soient x,y^ z ses coordonnées et p le segment CM ; en évaluant, comme nous l'avons fait au numéro 73, la projection de OM sur l'axe du cône, nous obtenons la relation

p cos V = X cos a -f- 3/ cos ^-\-z cos y ;

en élevant au carré les deux membres et remplaçant p^ par x*^- y ^ -h s*, nous avons l'équation cherchée qui est

[x^ -H J/^ H- -^) cos* V = [x cos a -f- .y cos p -f- z cos y)*.

Le lieu des points satisfaisant à deux conditions est une ligne ; en exprimant séparément les deux conditions, on a les équations de deux surfaces dont l'intersection est le lieu cherché. Nous ne nous occuperons dans ce qui suit que du cas des surfaces.

260. Un procédé très général de génération d'une surface consiste à définir cette surface comme le lieu des positions successives d'une ligne variable qui se déplace en changeant ou non déforme suivant une loi donnée. Par exemple, on considère une surface conique comme engendrée par une droite passant par un point fixe, le sommet de la surface, et s'appuyant sur une ligne ou une surface fixes. De même, on considère une surface cylindrique comme engendrée par une droite qui reste parallèle à une direction fixe et s'appuie sur une ligne ou une surface fixes. Dans tous les cas, la ligne mobile s'appelle génératrice et les lignes fixes qu'elle est assujettie à rencontrer s'appellent directrices.

Une génératrice de la surface est ordinairement représentée par deux équations renfermant un paramètre variable, de la forme

a étant le paramètre ; à chaque valeur de a correspond une position de la ligne mobile. Par un raisonnement analogue à celui du n° 241, on démontre que Ton obtient l'équation de la surface engendrée par la ligne génératrice en éliminant a entre les deux équations de cette ligne.

Exemple, — Les deux équations

y =: ax, z = a

représentent une droite parallèle au plan des xy et s'appuyant sur Taxe des z ; lorsque a varie, cette droite se déplace et engendre une surface dont on forme Téquation en éliminant a entre les deux relations précédentes ; on obtient ainsi l'équation y = xz^ qui représente une surface du second ordre.

Il peut arriver, comme au n° 243, que les équations de la génératrice renferment deux paramètres liés par une relation ; on forme encore l'équation de la surface en éliminant les deux paramètres entre les trois relations.

On définit quelquefois la ligne génératrice en donnant les expressions des coordonnées d'un point de cette ligne au moyen d'un premier paramètre ; désignons-le par u ; lorsque u varie, on obtient les points successifs de la génératrice. Les expressions des coordonnées renferment en outre un deuxième paramètre que nous appellerons r; à

chaque valeur de v correspond alors une position de la génératrice ; de cette façon, on a, pour représenter les coordonnées des points successifs de la surface engendrée par la ligne, des expressions renfermant deux paramètres, de la forme

261. Surfaces réglées. — On appelle surfaces réglées celles qui sont engendrées par le déplacement d'une droite mobile. En général, on suppose que les équations de la génératrice sont mises sous la forme

X = az -\-p, y = bz-\-q,

et que les quatre coefficients a, b, p, q sont des fonctions d'un même paramètre t ; lorsque t varie, on obtient les droites successives de la surface ; on forme Téquation de cette surface en éliminant / entre les équations de la génératrice.

Parmi les surfaces réglées, nous mentionnerons : 1° les surfaces cylindriques; on a vu au n** 101 que si les génératrices sont parallèles à Taxe Oz^ Téquation d'un cylindre est de la forme

elle ne renferme pas z et est identique à Téquation de la trace de la surface sur le plan xOy.

Le plan tangent en un point de la surface précédente est représenté par l'équation (5) du n° 255 ; comme /V est nul, elle se réduit à

on voit qu'elle ne dépend pas de Z ni de z ; elle représente un plan parallèle à Oz et par suite passant par la génératrice du point de contact ; de plus, ce plan reste le même lorsque l'on fait varier le point de contact sur cette génératrice; on en conclut que le plan tangent en nn point (Tun cylindre contient la génératrice de ce point et est le même pour tous les points de cette génératrice ;

2° Les surfaces coniques ; si l'on prend l'origine au sommet du cône, l'équation de la surface est homogène par rapport à x, y^ z. En effet, une génératrice est représentée par des équations telles que

(1) x = az, y = bz;

les paramètres a et 6 sont liés par une relation que Ton obtient ordinairement en écrivant que la génératrice s'appuie constamment sur la directrice ; si 9(0, 6) = 0 est cette relation, et si Ton y remplace a et b par leurs valeurs tirées des équations (i), on obtient Téquation de la surface ; elle est

le premier membre est bien homogène par rapport à x, y, z, et il conserve cette propriété lorsqu'on chasse les dénominateurs. Nous avons démontré au n° 107 la réciproque de la proposition précédente. Soit en général

une équation homogène représentant un cône et m le degré d'homogénéité ; réquation du plan tangent en un point est donnée par la formule (5) du n** 255 ; d'après la formule d'Euler sur les fonctions homogènes (n** 172), on a

^/"x + yf'y H- ^f'z = ^f[^y y y ^).

et le second membre de cette relation est nul, puisque le point (a:, y, z) est sur la surface ; l'équation du plan tangent se réduit alors à

On voit que le plan tangent passe par l'origine ; il contient par conséquent la génératrice du point de contact {x, y, z) ; de plus /x, fy et f'z étant des fonctions homogènes comme /*, l'équation précédente ne change pas si Ton remplace x, y, z par des expressions de la forme A*x, ky, kz, c'est-à-dire si l'on remplace le point de contact (X, y, z) par un autre situé sur la même génératrice ; on conclut de là que le plan tangenl en un point d'un cône contient la génératrice de ce point et est le même pour tous les points de celle génératrice.

3° Les surfaces conoîdes ; on appelle ainsi les surfaces engendrées par une droite restant parallèle à un plan fixe appelé plan directeur, en s'appuyant sur une droite fixe appelée directrice rectiligne et sur une autre ligne droite ou courbe.

On démontre en particulier qu'une droite restant parallèle à un

plan directeur et s'appuyant sur deux directrices rectilignes engendre une surface du second ordre qui est un paraboloïde hyperbolique. Une droite qui se déplace en s'appuyant sur trois directrices rectilignes engendre une surface du second ordre qui est un hyperboloïde à une nappe.

Remarque. — Le plan tangent en un point d'une surface réglée contient la génératrice du point de contact, comme nous l'avons remarqué au n° 255 ; en général il varie lorsque le point de contact se déplace sur la génératrice.

Si une surface réglée possède la propriété que le plan tangent reste le même en tous les points d'une génératrice quelconque, on dit qu'elle est une surface développahle \ elle possède la propriété, que nous ne démontrerons pas, de pouvoir être étalée sur un plan sans déchirure ni duplicature.

Le cône et le cylindre sont des surfaces développables, comme nous l'avons démontré.

262. Surfaces de révolulloii. — Une surface de révolution est obtenue en faisant tourner une ligne plane ou gauche autour d'une droite ^we, que l'on appelle axe de la surface; dans ce mouvement, tout point de la ligne mobile décrit une circonférence dont le centre est sur Taxe et dont le plan est perpendiculaire à l'axe ; une telle circonférence s'appelle un parallèle de la surface; les sections par des plans passant par Taxe sont des lignes égales entre elles et sont désignées sous le nom de méridiens.

Au lieu de considérer la surface comme le lieu des positions succèssives d'une ligne invariable de forme tournant autour de l'axe, on peut encore la regarder comme engendrée par une circonférence variable de grandeur et de position, dont le centre est sur Taxe, le plan perpendiculaire à l'axe et assujettie de plus à s'appuyer sur une ligne donnée; cette manière d'envisager la surface est souvent employée pour former son équation.

Nous supposerons que Ton prend comme axe des z l'axe de la surface de révolution, et que l'on donne l'équation d'un méridien de celte surface dans un plan que nous prendrons comme plan des xz ; soit, dans ce plan,

réquaiion de la courbe méridienne, et soient (xq, zq) les coordonnées d'un point de cette courbe. Dans le plan de cote zq existe un parallèle de la surface dont le rayon est Xq , et dont les équations sont

en écrivant que x^ et z^ satisfont à Téquation (2), on a Téquation de la surface, qui est

(3) f{^x^-hy\z) = 0;

on voit qu'on l'obtient simplement en remplaçant x par ^x^ -\- y^ dans Téquation de la méridienne donnée dans le plan des xz .

Nous allons démontrer géométriquement la propriété fondamentale du plan tangent et de la normale à une surface de révolution. Le plan

tangent en un point M d'une telle surface

{fîg, 78) est déterminé par la tangente MT

au parallèle et par la tangente MS au mé-

. ridien du point M ; cette dernière rencontre

V"*>v. l'axe de la surface en un certain point S .

\\ \ La normale à la surface en M est per-

\\ y'^ pendiculaire au plan tangent, en particulier

-^^^ à la droite MT; elle est donc contenue dans

^ \ le même plan que le rayon MO du parallèle

y et que l'axe de révolution, qui sont tous

deux perpendiculaires à MT; on en conclut

que la normale va rencontrer l'axe ; soit N

^' le point de rencontre. Faisons tourner autour

de l'axe la figure formée par le méridien du point M , les tangentes MT et MS et la normale. MN ; dans ses différentes positions, le plan SMT reste tangent à la surface et il passe toujours par S; de même, la droite MN reste normale à la surface et passe toujours par N; on en conclut ce théorcine :

Les plans tangents à une surface de révolution en tous les points d'un parallèle rencontrent l'axe en un même poini, et il en est de même des normales,

263. Exemples. — Comme exemples de surfaces de révolution, nous mentionnerons:

1° L'ellipsoïde de révolution, engendré par la révolution d'une ellipse autour de Tun de ses axes ; Tellipsoïde est allongé ou aplati suivant que Taxe de révolution est le grand axe ou le petit axe ; si Ton suppose comme précédemment que Taxe de révolution est Taxe des z, Téquation de la surface est de la forme

2'' L'hyperboloïde de révolution à une nappe, engendré par la révolution d'une hyperbole autour de son axe non transverse; l'équalion de la surface est de la fonne

On peut vérifier que si l'on fait tourner autour de l'axe des s la droite représentée par les équations

elle engendre précisément la surface précédente ; on en conclut que la surface engendrée par une droite tournant autour d'un axe qu'elle ne rencontre pas est un hyperboloïde de révolution à une nappe.

3** Le paraboloïde de révolution, engendré par une parabole tournant autour de son axe ; l'équation de la surface est de la forme

4° Le tore, engendré par une circonférence tournant autour d'un axe situé dans son plan et ne passant pas par son centre.

264. Enveloppe d*uiic famille de surfaces. — Considérons une famille de surfaces S représentées par une même équation

renfermant un paramètre variable a. Par analogie avec ce que nous avons dit dans le cas d'une courbe plane (n° 244), nous définirons l'enveloppe de cette famille de surfaces de la façon suivante : prenons la surface correspondant à la valeur a du paramètre et la surface voi-

sine correspondant à la valeur a -4- la du même paramètre; la ligne d'intersection de ces deux surfaces tend, lorsque Aa tend vers zéro, vers une position limite que Ton appelle ligne caractéristique de la première et qui est représentée par les équations

le lieu de cette ligne caractéristique, lorsque a varie, est appelé l'enveloppe de la famille de surfaces S et Ton obtient son équation en éliminant a entre les deux relations précédentes.

Nous allons vérifier par un raisonnement analogue à celui du n" 245, qu'une surface enveloppée S et l'enveloppe E ont même plan tangent en tous les points de la ligne caractéristique. En un point de cette ligne, l'équation du plan tangent à la surface S correspondant à la valeur ^xe a du paramètre est

L'équation de E peut être considérée comme étant la première

des équations (5), où a a été remplacé par sa valeur tirée de la

seconde en fonction de x, y, z\ les coefficients de l'équation du plan tangent sont alors

fL^f'aa'.. f'y^f'aa'y. f'^-^f'aa'.'.

mais fa est nul, par suite ces coefficients sont les mêmes que dans l'équation (6), et les plans tangents sont identiques. Cette propriété justifie le nom d'enveloppe donné à la surface E .

Exemple, — Soit la famille de sphères représentées par l'équation

(4) x^ -+- y'^ H- 22 ^ 2az -h [a —pf = 0 ,

où a est variable et p constant ; la dérivée du premier membre par rapport à a est 2z — 2 (a — p) ; on en conclut que la ligne caractéristique est le cercle d'intersection de la sphère et du plan z — a — p. En éliminant a entre les deux relations, on obtient l'équation de

l'enveloppe

x^-hy^ — 2pz = 0\

elle représente un paraboloïde de révolution autour de ()-; on obtiendrait encore son équation en écrivant que l'équation donnée a une racine double par rapport à a, d'après la remarque faite au n° 246-

346 APPLICATIONS GÉOMÉTRlQrES

265. Arôle de rebroussemeiit . — Les différentes lignes caractéristiques, dont Tensemble constitue la surface enveloppe E, sont, sur cette surface, tangentes à une même ligne; cette ligne, qui est Tenveloppedes caractéristiques, est appelée Tarête de rebroussement de E. On la définit au moyen des trois équations

iV f[x,y>^, (i) = ^^ fa{x>y,z,a) = 0, f:,{x,y, z,a) = 0.

Pour une valeur donnée de a, les deux premières représentent la ligne caractéristique de la surface S correspondante, et la troisième représente une surface qui coupe cette ligne caractéristique en un certain point M ; lorsque a varie, ce point M décrit une ligne C située naturellement sur Tenveloppe E. Si Ton résout les relations (7), par rapport à x, y, z en fonction du paramètre a, on obtient les expressions des coordonnées des points de C en fonction de ce paramètre ; si Ton veut au contraire former les équations de la ligne C, on élimine a entre ces relations (7).

Supposons qu'on tire a de la dernière et qu'on porte dans les deux autres la valeur trouvée qui est une fonction de x, y^ z ; on obtient ainsi les équations de C ; en faisant un raisonnement analogue à celui du n° précédent, on démontre que les coefficients directeurs de la tangente au point M à une caractéristique correspondant à une valeur particulière de a, sont égaux à ceux de la tangente à l'arête de rebroussement au même point M ; on peut donc considérer Tarète de rebroussement comme l'enveloppe des lignes caractéristiques successives.

260. Enveloppe d'une famille de plans. — Considérons le cas où la surface variable S est un plan ; supposons que son équation soit mise sous la forme

et que les coefficients A, B, C, D dépendent d'un paramètre a: désignons par A', B', G', D' leurs dérivées; la ligne caractéristique est définie par l'équation (8) et par sa dérivée par rapport à a, c'està-dire

> îVî \'x -f B'y -h C'z -f- D' --- 0 :

ces deux équations représentent une droite, et le lieu de cette droite, qui est l'enveloppe cherchée, est une surface réglée.

On sait, d'après la propriété démontrée au n° 264, que la surface enveloppée est tangente à Tenveloppe en tous les points de la ligne caractéristique ; on en conclut que le plan représenté par 1 équation (8) est tangent à la surface réglée qui est son enveloppe tout le long de la génératrice caractéristique ; la surface réglée jouit donc de la propriété d'avoir même plan tangent en tous les points de chaque génératrice ; elle est par suite une surface développable, comme le cône et le cylindre (n** 261, remarque).

L'arête de rebroussement, ou enveloppe des génératrices successives, est une courbe définie par les équations (8) et (9) et par la dérivée seconde de (8) par rapport à a , qui est

k'x -4- B"^ -I- Cz H- 0"*= 0 ;

les génératrices de la surface sont les tangentes successives à cette courbe ; on démontre inversement que les tangentes à une courbe quelconque forment une surface réglée qui est développable ; elle est l'enveloppe du plan que nous définirons plus loin sous le nom de plan osculateur à la courbe.

267. Cas de deux paramètres. — Considérons une famille de siu'faces S représentées par une équation

renfermant deux paramètres indépendants a et b\ nous verrions, comme dans le cas précédent, que trois surfaces correspondant, la première aux valeurs (a, b) des paramètres, et les autres à des valeurs voisines (a-f-Aa, 6-1- A6), (a-f-A'a, b-\-\'h) ont en commun des points dont les limites, lorsque les accroissements Aa, \b, A'cr, \'b tendent vers zéro, satisfont aux équations

[[^yy, -,«, 6) = 0, f'a[x,y, z, a, 6)r-0, [tix, y, z, n, 6)^0.

Ces points, appelés points caractéristiques de la première surface S, ont comme lieu, lorsque a et b varient, une surface K dont on obtient l'équation en éliminant n qX b entre les trois équations précédentes. Cette surface est tangente à chaque sm'face S aux points caractéristiques, et elle est appelée l'enveloppe de la fîimille considérée.