COURBURE DES COURBES DE L'ESPACE

268. Plan osculatéur en un point d*une courbe gauche. — Soit M un point d'une courbe gauche, MT la tangente en ce point (/îgr. 79), et M' un point voisin situé sur la courbe ; si le plan passant par MT et

parle point M' a une position limite quand celuici tend vers M, on appelle cette limite le plan osculatéur à la courbe au point M . ^

On remplace souvent cette définition par une autre qui est la suivante :

Le plan osculatéur en un point M d'une courbe est la limite du plan mené par la tangente MT au point M et par la parallèle à la tangente en un point tmisin lorsque celui-ci se rapproche indéfiniment du premier.

Nous allons montrer que ces deu\ définitions sont équivalentes.

Supposons que l'on projette orthogonalement la courbe donnée sur un plan P perpendiculaire à la tangente MT ; le plan passant par cette tangente et par un point voisin M' a pour trace sur le plan P

Fig. 79.

COURBURE DES COURBES DE l'eSPACE 349

la corde mm' joignant les projections des points M et M\ Or il existe sur Tare mm' un point m^ où la tangente m^t^ est parallèle à la corde mm\ c'est le point de l'arc mm' dont la distance à cette corde est maximum ; soit Mi le point de la courbe de l'espace projeté en mi , et soit MiTi la tangente en ce point ; elle a pour projection m^li ; le plan passant par MT et par la parallèle MTi à MiTi est alors identique au plan passant par MT et par M'.

Il suffit de remarquer que le point Mi tend vers M en même temps que M' pour voir que la limite du plan passant par MT et le point M' est la même que celle du plan passant par MT et par la parallèle MT{ à la tangente MiTj au point Mi ; les deux définitions sont donc identiques.

Nous nous servirons de la seconde pour trouver l'équation du plan osculateur en un point M de coordonnées (x, y, z) ; nous supposerons que X, y, z sont des fonctions d'un même paramètre t,

La tangente MT est représentée par les équations (1) du n° 252, ou bien, en remplaçant dx, dy et dz par x\t)dt, y'[t)dl, et z'{l)dl, par les équations

Si < -f- Af est la valeur du paramètre correspondant au point voisin Ml et si Xi, yiy z^ sont les coordonnées de ce point, les équations de la tangente MiTi sont de même

X — Xi Y — î/i Z — Zi

Cherchons l'équation du plan passant par MT et parallèle à la tangente M|Ti ; cette équation est de la forme

où A, B, C sont des coefficients encore inconnus; nous les déterminerons en écrivant que ce plan est parallèle à chacune des droites MT et MiTi , ce qui s'exprime par les conditions

(3) A x'[l -h AO -f- B y'[l -h A/) -I- C z'[l -f- A/) =- 0 .

On peut tirer de ces deux dernières relations les valeurs de deux des coefficients en fonction du troisième et les porter dans l'équation (1) ; on obtient plus facilement le résultat en exprimant que les équations (1), (2) et (3), où A, B, C sont considérés comme des inconnues entrant d'une manière homogène, sont satisfaites par un système de valeurs non toutes nulles de ces inconnues ; il faut et il suffit pour cela (n° 13) que le déterminant des coefficients de A, B, C dans les trois équations soit nul ; on a ainsi la relation

x'{l-hM) y'U-hM) z'{t-hM)

c'est l'équation du plan passant par MT et parallèle à MiTj.

Pour avoir la limite de ce plan lorsque M tend vers zéro, nous retrancherons des éléments de la dernière ligne du déterminant précédent ceux de la deuxième, et nous diviserons les différences par A/; nous pourrons ainsi substituer aux éléments de la dernière ligne les quantités

x\t -h M) — x'{t) y'{l -f- M) — y'it) z'[i -f- A/) — z'[l) .

lorsque A^ tend vers zéro, ces quantités ont pour limites les dérivées secondes x"[l)^y"[l) et z"{t)\ l'équation du plan devient par suite à la limite

x'{l) y'{t) z'il)

C'est Téquation du plan osculateur au point M ; en introduisant les différentielles, on peut l'écrire

dx cly dz =0,

ou bien, en développant le déterminant,

(5) (X — x) [dy dH — dz d\y) + (Y — y) {dz d^x — dx dH)

(Z — z) [dx d^y — dy d'x) = 0 .

COURBURE DES COURBES DE i/eSPACE 351

269. Normale principale. — On appelle normale principale en un point d une courbe de Tespace la normale à cette courbe située dans le plan osculateur; elle est Tinterscction du plan normal, représenté (n** 253) par Téquation

(X — x)dx 4- (Y — y)dy + (Z — z)dz = 0 ,

et du plan osculateur, représenté par Tune des équations (4) ou (5).

Si la courbe considérée est plane, son plan osculateur en un point quelconque se confond avec le plan de la courbe ; la normale principale est alors la normale à la courbe dans son plan, telle qu'on la considère en géométrie plane.

270. Centre et rayon de courbure en un point d*une courbe nauclie.

— Par analogie avec ce que nous avons dit dans le cas d'une courbe plane (n* 249), nous poserons les défînitions suivantes :

Considérons un point M d'une courbe gauche et un point voisin M' ; les plans normaux en ces deux points se coupent suivant une certaine droite ; soit D la position limite de cette droite lorsque M' se rapproche indéfiniment de M ; le point de rencontre C de cette droite D et du plan osculateur à la courbe au point M s'appelle centre de courbure relatif à ce point M.

Par suite de sa définition, ce point C est situé sur la normale principale à la courbe au point M ; la longueur CM est appelée rayon de courbure en ce point de la courbe. Nous allons déterminer le centre et le rayon de courbure d'une courbe de l'espace. La droite D est la ligne caractéristique du plan normal, c'est-à-dire la droite de contact de ce plan avec son enveloppe ; elle est définie par l'équation du plan normal qui est, d'après le n° 253,

(6) (X — x)dx -f- (Y — y)dy -h (Z — z)dz = 0 ,

et par la dérivée ou la différentielle de cette équation, qui est

(7) (X — x)d^x -f- (Y — y)d\y H- (Z — z)d-'z — (c/x^ -4- dy' -f- dz^) = 0 .

Joignons à ces deux équations celle du plan osculateur en M ; nous l'avons déterminée au n° 268 et elle est

(8) (X — x) [dy d^z — dz d\y) 4- (Y — y) (dz d^x — dx d'z)

[Z — z) [dx d'y — dy d'x) -- 0 ;

les équations (6), (7) et (8) déterminent les coordonnées X, Y, Z du centre de courbure C ; en les résolvant, il serait facile de former les valeurs de X — j, Y — y et Z — z; nous ne les écrirons pas. Si nous formons la somme des carrés de ces quantités, nous avons le carré du rayon de courbure ; en désignant par R ce rayon, nous obtenons pour sa valeur, tous calculs faits, Texpression suivante :

[{dydH — dzdY)^-{-{dzd^x—dxdHY-\~{dxd^y — dyd^xf]i

271 . Nous allons démontrer que le rayon de courbure est égal à la limite du rapport de Tare MM' à Tangle formé par les plans normaux en M et M', ou bien égal au rapport des différentielles de ces deux quantités. La différentielle de l'arc est ds = ^dx' -h dy^ -h dz- ; d'autre part, Tangle des plans normaux en M et M' est égal à Tangle des tangentes à la courbe en ces deux points, et nous allons Tévaluer.

Désignons par a, b, c les paramètres directeurs de la tangente en M , et par a', b', c' ceux de la tangente en M' ; on peut prendre les premiers égaux à x\l)^ 2/(0^ ^'(0 ^* ^^^ autres égaux à x'{t -h A/), y'[t -f- M), z'[t -h M) ; d après la formule du n° 105, Tangle de ces droites est donné par

-, aa' -f- bb' -h ce' cos V = =^ — , .

Formons sin^ V en calculant 1 — cos^ V et réduisant les deux termes au même dénominateur ; le numérateur peut être transformé et mis sous la forme d'une somme de trois carrés, comme le montre ridentité

(^2 ^ ^2 ^ c'-^) [a'^ -h b'^ -f- c'^) — [aa' -h bb' -h cc'f

= {bc' — cb'Y -f- [ca' — ac'Y -h [aV — 6a')*.

Considérons le premier de ces carrés ; il porte sur la différence

bc' — cb' = y'U) z'(t -f- AO — z'{l) y\t-h M) , que Ton peut écrire