D'UNE VARIABLE

272. Limite d*une somme de quantités infiniment petites. — Le

calcul intégral a pour objet : 1° la détermination de la limite d'une somme de quantités infiniment petites dont le nombre croit indéfiniment ; 2" la détermination d*ime fonction dont on donne la dérivée ou la difTérentielle.

Nous verrons que ces deux problèmes, en apparence distincts, se ramènent Tun à l'autre ; nous allons d'abord considérer le premier.

Soit

S = ai-\-a2-\- • • • -f-fln

la somme de n quantités dont la valeur dépend d'une manière connue du nombre n ; supposons qu'en faisant croître n indéfiniment, les quantités a tendent vers zéro ; si la somme S a une limite, celle limite est appelée la somme intégrale des quantités a ; on dit quelquefois que les quantités a sont infiniment petites et que S est une somme d'un nombre infiniment grand de quantités infiniment petites. C'est en géométrie que Ton rencontre les premiers exemples d'une pareille somme ; on définit par exemple la longueur d'un arc de courbe

comme la limite du périmètre d'une ligne brisée inscrite dont le nombre des côtés augmente indéfiniment, chacun d'eux tendant vers zéro.

Le calcul de la limite d'une somme de quantités infiniment petites est facilité par le théorème fondamental suivant, qui permet de comparer Tune à Tautre deux pareilles sommes :

Étant données deux sommes d'un même nombre de quantités infiniment petites, si le rapport de deux termes correspondants a pour limite Uunité, et si l'une de ces sommes a une limite, Vautre a aussi une limite, et les deux limites sont égales.

Soient les deux sommes

S = fli H- eï2 -^- • • • -H «n ; S' = 6, 4-62+ • • • -f-*«,

d'un même nombre de quantités infiniment petites; nous supposons que la deuxième a une limite L et que les rapports

Ol «2 On

bi &2 bn

ont tous pour limite Tunité ; nous allons démontrer que S a une limite égale à L.

En eiïet, quel que soit le nombre n, le rapport

«i-h a^-h ' ' ' -ha„ bi-\- bi-h • • • -h 6„

est compris entre le plus grand et le plus petit des rapports des termes correspondants; il a donc comme ceux-ci pour limite Tunité; nous en concluons que le numérateur a une limite, et que cette limite est égale à celle du dénominateur c'est-à-dire égale à L.

Exemple, — Soit à trouver la limite de la somme

pour n infini; considérons la somme

le rapport de deux termes correspondants de S et de S' est de la

INTÉGRALES DE FONCTIONS d'uNE VARIABLE 357

forme — -— 1 p étant le rang de ces termes, et il a pour limite

Tunité lorsque n augmente indéfiniment. Or il est facile d'évaluer la

somme S', qui a pour valeur ^ — - • — -» et pour limite — lorsque

n croît indéfiniment ; la somme considérée S a donc aussi pour limite ~ •

ma

Il arrive souvent que les quantités infiniment petites dont on cherche la somme intégrale sont comparables chacune à un infiniment petit principal, qui est par exemple Taccroissement infiniment petit d'une variable telle qu'une longueur, ou un intervalle de temps; si l'on détermine la partie principale de chacune des quantités infiniment petites données, et si la somme de ces parties principales a une limite, on est certain, d'après le théorème du n° 155 et le précédent, que la somme donnée a la même limite. Cette remarque permet de simplifier, dans bien des cas, la recherche des sommes intégrales.

273. Intégrale définie. — Le problème delà recherche delà limite d'une somme se pose ordinairement de la façon suivante :

Soit X une variable indépendante qui est par exemple la mesure d'une longueur, ou d'un intervalle de temps, etc., et qui varie d'une manière continue d'une valeur a à une valeur 6 supérieure à a; partageons l'intervalle (a, 6) en n parties que nous appelons Axi , ÀX2 , • . . ^n y ^t déslgnous par

Xq = CL y Xi = Xq — |— ukX\^ , X<i = X\ -\- CkX^ , . . , Xj^ = 0

les limites des intervalles partiels ainsi formés.

Soit d'autre part /"(x) une fonction donnée que nous supposons continue dans l'intervalle total [a y h)\ prenons une valeur particulière de cett€ fonction dans chacun des intervalles partiels, multiplions cette valeur par la grandeur de l'intervalle correspondant, et formons la somme des résultats. Pour fixer les idées, désignons par \^ une valeur particulière de x comprise dans l'intervalle (xo,Xi); multiplions la valeur /"(Çi) de la fonction pour x = ;i par la grandeur Xx — Xq =^ Ax, de cet intervalle ; désignons de même par \i une valeur particulière de X comprise dans l'intervalle (xi , x^) et multiplions f(\.i\ par la grandeur Axg de cet intervalle ; opérons de même pour les inter-

valles suivants et formons la somme des produits ainsi obtenus

Nous allons démontrer que cette somme a une limite lorsque le nombre des intervalles augmente indéfiniment, chacun d'eux tendant vers zéro, et que cette limite est indépendante, d'une part du choix des valeurs $1 , Ej , . . . , ç„ comprises dans les intervalles, d'autre part de la façon dont ces intervalles tendent simultanément vers zéro. Nous représen-

tons la somme S par la notation 2/*(.r)Aj:, et sa limite par la notation

/ f{x)dx',

tJ a

on énonce ce dernier symbole « somme de a à 6 de f{x)dx » et on rappelle a intégrale définie de la fonction f{x) entre les limites a et 6 » ; a est dit la limite inférieure, et b la limite supérieure de rintégrale.

La somme S est une somme de quantités infiniment petites en même temps que les intervalles Axi, Ax^ . . . , Ax„; pour démontrer qu'elle a une limite, nous ferons les raisonnements successifs suivants :

1° Comme la fonction [[x) est continue, le rapport de deux quelconques des valeurs qu'elle prend dans un intervalle tend vers Tunité lorsque la grandeur de cet intervalle tend vers zéro. Si dans la somme S nous remplaçons /"(;!), fÇ^i)-, « • • ? par d'autres valeurs que prend f[x) dans chacun des intervalles successifs, et si la somme ainsi formée a une limite, S aura la même limite, d'après le théorème fondamental du n° précédent, car le rapport des éléments correspondants dans ces sommes a pour limite l'unité. Nous voyons déjà que la limite de S, si elle existe, est indépendante des valeurs ?i,ç2^ . . . , comprises dans les intervalles.

Nous choisirons en particulier dans chaque intervalle la plus petite valeur que prend f{x) dans cet intervalle, et nous démontrerons que la somme S correspondante a une limite. Pour ne pas compliquer récriture, nous admettrons que dans la somme (1) /"(çi), /(ç>)» • • . désignent précisément les valeurs les plus petites de la fonction dans les intervalles, et nous raisonnerons sur la somme ainsi formée.

2° Nous allons faire croître le nombre des intervalles en opérant

INTÉGRALES DE FONCTIONS d'uNE VARIABLE 3S9

d'abord d'une façon particulière ; divisons chacun des intervalles primitifsL Axi, Ax^, . . . , ^ d'autres partiels, ceux-ci de même en d'autres, et ainsi de suite ; formons alors pour chaque décomposition la somme analogue à S ; nous allons montrer que les sommes ainsi formées ont une limite.

Divisons le premier intervalle Axi en ^i parties que nous désignons par A'xi, A'x2, . . • , A'^™, ; divisons de même le deuxième ^x^ en 712 parties A'a:„,^.i, A'x„,+2î • - - •, et ainsi de suite ; puis multiplions la plus petite valeur de f{x) dans chaque inter>'alle ainsi formé par la grandeur de cet intervalle et faisons la somme des résultats ; nous obtenons une somme que nous appelons S' et que nous écrivons de la façon suivante :

en mettant dans la première ligne les éléments qui proviennent de la décomposition de Axj, dans la deuxième ligne ceux qui proviennent de la décomposition de Ax2, et ainsi de suite.

Les termes /*(5'i), f(l'2), • . . qui entrent dans la première ligne sont au moins égaux à /l[5i), puisque cette dernière valeur est la plus petite de celles que possède f{x) dans l'intervalle Axi ; la somme qui constitue la première ligne de S' est donc égale ou supérieure à f{li)[^'xi-\-^'x2-\- ... -f-A'x„J ou à /'(5i)Axi, c'est-à-dire au premier terme de S. De la même manière, les éléments de la deuxième ligne de S' ont une somme égale ou supérieure au deuxième terme de S, et ainsi de suite; nous en concluons que la somme S' est égale ou supérieure à S.

Décomposons alors de nouveau les intervalles A'xi , . . . en d'autres partiels, et formons la somme correspondante, que nous désignons par S", puis répétons cette opération de façon à augmenter indéfiniment le nombre des intervalles, chacun d'eux tendant vers zéro ; les sommes S, S', S", ... forment une suite de nombres allant en croissant ; mais elles restent manifestement inférieures au produit du maximum de f{x) dans l'intervalle [(i,b) par la grandeur h — a de cet intervalle ; ces sommes ont donc une limite (n° 25) ; nous désignerons cette limite par L .

3° Nous allons enfin démontrer que si Ton effectue d'une manière quelconque des décompositions successives de b — a en intervalles partiels, de façon que leur nombre augmente indéfiniment et que chacun d'eux tende vers zéro, les sommes correspondantes analogues à S, sommes que nous désignerons par Si, S2 . . . , ont encore une limite égale à la précédente, c'est-à-dire à L.

Soit en effet S* une quelconque de ces sommes ; nous allons la comparer à Tune de celles que nous avons considérées précédemment et qui ont pour limite L , par exemple à la somme S^K Rangeons par ordre de grandeur les valeurs de x qui limitent les intervalles relatifs à S^^> et à Sfc , prenons toutes ces valeurs comme limites d'intervalles successifs, et formons la somme correspondante analogue à S; appelons-la £.

Les nouveaux intervalles peuvent être considérés comme résultant d'une division en intervalles partiels de ceux qui sont relatifs à S^^ ; 2 est alors un terme d'une suite S, S', ... S^''^, 2, . . . analogue à celle que nous avons formée dans le deuxième paragraphe; une pareille suite a, comme nous l'avons vu, une certaine limite ; il en résulte que la différence 2) — S^''^ entre deux termes consécutifs est très petite si le nombre des intervalles est très grand et qu'elle tend vers zéro.

Les nouveaux intervalles résultent aussi d'une division des intervalles relatifs à S^ ; pour la même raison que précédemment, la difîérence 2 — S* est aussi très petite; par conséquent, la différence (V go.) j (2 S;,) = S* — S^'*^ est aussi très petite et tend vers zéro; comme S^''^ a pour limite L, il en est de même de S^-, ce que nous voulions établir.

Nous avons ainsi démontré l'existence de l'intégrale définie.

274. Remarque I. — Si M et m sont le maximum et le minimum de f{x) dans l'intervalle {a, 6), la somme S est comprise entre M(2 Ax) et m(2 Ax) , c'est-à-dire entre M(^ — a) et ni{h — a); il en est

de même de sa limite, c'est-à-dire de l'intégrale définie / f{x)dx.

Le quotient de cette intégrale par b — a est compris entre M et m ; il est donc égal à la valeur de f[x) pour une valeur convenablement choisie de la variable entre a et 6 ; si e est cette valeur, on peut écrire l'égalité

(2) jy{x)dx = [b - a)f{c).

INTÉGRALES DE FONCTIONS dY'NE VARIABLE 361

Remarque II. — Supposons que l'on choisisse entre a et b des nombres tels que c et d\ nous allons démontrer que l'intégrale définie de la fonction f{x) prise entre a et 6 est égale à la somme des intégrales de cette fonction prises entre a et c, entre c et d, et entre d et b, c'est-à-dire que Ton a

(3) r f[x)dx= rf{x)dx-h rf[x)dx-{- rf{x)dx.

En effet, d'après les raisonnements du n° précédent, la valeur du premier nombre de cette relation est indépendante de la manière dont on décompose l'intervalle («, 6) en intervalles partiels. Divisons d'abord l'intenalle [a, b) en trois autres séparés par les nombres c et dy puis décomposons chacun de ces trois intervalles en d'autres partiels et faisons tendre ces derniers vers zéro ; nous aurons toujours

:^f{x) \x = I,f{x) Ax -f- lf{x) ^x -4- ^f{x] Ax ;

en passant à la limite, nous obtiendrons la formule {'^) que nous voulions établir.

Remarque III. — Nous avons admis jusqu'à présent que la limite supérieure b d'une intégj'ale définie est plus grande que la limite inférieure a ; cette restriction n'est pas nécessaire, et les raisonnements que nous avons faits subsistent entièrement lorsque b est plus petit que a ; dans ce cas, les valeurs des intervalles successifs Ax obtenus en décomposant l'intervalle total b — a en d'autres partiels sont des nombres négatifs, mais la démonstration que nous avons

faite dans le n° précédent subsiste, et la somme 2/^(j^)'^J: a encore

une limite ; cette limite est représentée dans tous les cas par la notalion / f{x)dx.

Considérons deux intégrales définies de la morne fonction fix) prises, l'une entre les limites a et /;, l'autre entre les limites b et a égales aux précédentes mais en ordre inverse ; nous allons voir que ces intégrales sont égales et de signes contraires.

Formons les deux sommes ^f{x)\x et v/'(.r)Aj- analogues à (1); j

coiTime les limites de ces sommes sont indépendantes du mode do dé- i

coinposition des intervalles {a, b) et {b, a) en d'autres partiels, nous i

pouvons, dans les deux cas, séparer ces intervalles partiels par les mêmes valeurs intermédiaires de x, et choisir dans chacun d*eux la même valeur de la fonction f{x) ; de cette façon, les termes correspondants dans les deux sommes ont des valeurs égales et de signes contraires, et il en est de même de ces sommes; celles-ci ont dès lors des limites égales et de signes contraires, ce que nous voulions établir. On exprime ce fait en disant qu'une intégrale change de signe lorsqu'on renverse Tordre des limites d'intégration ; cette propriété est traduite par la formule

f f[x)dx = — r f{x)dx .

Il résulte de là que Ton peut ramener le calcul d'une intégrale dont les limites sont quelconques, à celui d'une intégrale dont la limite supérieure est plus grande que la limite inférieure. On voit facilement que la formule (3) est vraie dans tous les cas, quels que soient les nombres a et h y et aussi quels que soient c et J quand bien même ces deux nombres ne seraient pas compris entre a çX b.

275. Interprétation géométrique. — Supposons poursimplifierque Ton prenne l'intégrale de f[x) entre des limites a et 6 dont la seconde est plus grande que la première ; le cas de b<C.a se ramène à celuilà, comme nous venons de le voir. Prenons deux axes rectangulaires Ojt, 0,y [fig. 80) et construisons la courbe représentative de la fonction y = f{x) ; supposons d'abord que celte fonction reste positive dans l'intervalle {a, h).

Soient P et Q les points de l'axe Oj* ayant pour abscisses a et />, et soient A et B les points correspondants de la courbe ; pour représenter géométriquement la somme (1), nous décomposerons le segment PQ en segments partiels PPi, P, P2, ... respectivement égaux à Aa*i, \x2, ... ; nous choisirons ensuite dans chacun de'ces segments les points M,, M^, . . . , d'abscisses Ç|, ç^, . . . , et nous tracerons

> Mj

Fig. 80.

INTÉGRALES DE FONCTIONS d'uNE VARIABLE 363

les ordonnées correspondantes MiQ, M2C2, • . .; ces ordonnées seront égales à /*(;i), /"(Ço)! ....

Les éléments f(li)^Xi, fili)^^-!', • • •» dont se compose la somme (i ), seront égaux aux aires des rectangles successifs ayant, le premier pour base PPi et pour hauteur MiCi , le deuxième pour base PiP2 et pour hauteur M2C2, et ainsi de suite ; la somme (1) sera donc égale à la somme des rectangles PDDiPi, P1E1E2P2, .... D'après ce que nous avons vu au n** 273, nous savons que la somme (1) a une

limite dont la valeur est représentée par l'intégrale définie / f[x)dx ;

nous en concluons que la somme des aires des rectangles précédents a une limite égale à cette intégrale; comme les sommets D, Di, . . . des rectangles se rapprochent indéfiniment de la courbe, nous dirons par définition que cette limite est la valeur de Taire curviligne comprise entre la courbe AB, Taxe des x et les ordonnées PA et QB des points A et B. Il résulte de cette définition que l'intégrale

définie / f[x)dx est représentée géométriquement par l'aire comprise

entre la courbe y = f(x), l'axe des x, et les ordonnées d'abscisses fl et 6.

Le calcul d'une intégrale définie et la mesure d'une certaine aire

sont, d'après ce qui précède, deux problèmes équivalents ; or, lorsqu'on

sait évaluer une aire, on sait calculer le coté d'un carré équivalent, ou,

•comme on dit, faire la quadrature de cette aire ; par extension, on donne

le nom de quadrature au calcul d'une intégrale définie.

Supposons maintenant que f{x) soit constamment négative entre a et b; la courbe représentative est située tout entière, par rapport à Ox, du côté des y négatifs ; les éléments f{li), A^^)» • • • ^^"* tous négatifs, et les parties dont se compose la somme (1), ainsi que la limite de cette somme, sont négatives ; l'intégrale représente alors la valeur, changée de signe, de l'aire comprise entre la courbe y = f{x), l'axe des x, et les ordonnées extrêmes d'abscisses a qX b.

Supposons enfin que f{x) change de signe entre a et b pour des valeurs telles que c et d , comme l'indique la figure 81 ; nous avons, d'après la formule (3),

/ f(x)clx== j f{x)dx \ I fu']dx\ l'f{x)d.r:

la valeur du second membre et par suite celle du premier sont égales à la

CALCUL LNTÉCiRAL

somme des aires situées, par rapport à Oj, du côté des y positifs, diminuée de la somme des aires situées du côté des y négatifs, c'està-dire à la somme

aire PAMC — aire CND H- aire DBQ .

276. Dérivée d'une intégrale. — La valeur d'une intégrale définie dépend non seulement de la fonction à intégrer, mais encore des limites d'intégration. Désignons par X la limite supérieure que nous

avons appelée précédemment b, et M posons

La fonction F(X) varie avec la limi- Fig. 81. te supérieure X;

nous allons montrer quelle est continue et quelle a pour dérivée /*(X).

Donnons à la limite X un accroissement AX, et considérons rintégrale

F(X-+-AX)--/ f[x)dx\ ■

nous avons