AC— B

le dénominateur est le déterminant 8 ; le numérateur est le déterminant des coefficients de Xo, yo et des termes constants dans les demi-

dérivées -/"i,, -fy^, -fi^ et on le représente par A. Si nous posons Je a Jà

F' a la valeur — , et l'équation (12) se réduit à

Aa:" -1- 2Bx'y' + Cy'* -h^ = 0.

Remarque. — Si A est nul, l'équation précédente est homogène en x\ y' et représente deux droites passant par la nouvelle origine ; la ligne dont l'équation est (!) est donc décomposable en deux droites.

Réciproquement, si une ligne du second ordre, du genre ellipse ou hyperbole, est un système de deux droites, ces deux droites sont parallèles aux directions asymptotiques de la ligne, et elles ne sont pas parallèles. Leur point commun est le centre de la ligne qu'elles constituent, et lorsqu'on prend ce centre comme nouvelle ohginc des coordonnées, l'équation par rapport au nouveau système doit être homogène ; le terme constant F' doit par conséquent être nul.

De là nous déduisons, dans le cas où AG — B' n'est pas nul, que A = 0 est la condition nécessaire et suffisante pour que Téquation du second degré représente deux droites.

275. Rechecche de la direction des axes de symétrie. — Supposons que Ton ait effectué la réduction précédente de Téquation du second degré, et qu'on Tait ramenée, si elle n'y est pas a priori, à la

forme

(16) Aa/« 4- 2Bx'y' H- Cy'* + F' = 0 .

Lorsque B est nul, la courbe admet comme axes de symétrie les deux axes de coordonnées ; lorsque B n'est pas nul, nous effectuerons une transformation de coordonnées en conservant la même origine 0' et changeant la direction des axes. Nous désignerons les nouveaux axes par OV, OV et nous les supposerons rectangulaires, de sorte que les formules de transformation sont

a;' = x" cos a — y' sin a,

y' = af sina-hy' cos a.

Si nous déterminons a de façon que le coefficient de afy" soit nul dans la nouvelle équation, les nouveaux axes 0 V, O'y'^ seront les axes de symétrie de la courbe.

En remplaçant dans l'équation (16) x' et y' par les valeurs précédentes, elle devient

A V» + 2B'afy' + Cy * H- F' = 0 ,

F' conservant la même valeur, et les autres coefficients étant

!A' = A cos' a 4- 2B sin a cos a H- G sin* a, B' = Bco8*a— (A— Gjsinacosoc — Bsin'a, G' = G cos* oc — 2B sin a cos a + A sin* a;

si nous égalons B' à zéro, nous obtenons pour déterminer a une équation que nous pouvons écrire, en divisant par cos* « ,

(18) Btg*a + (A~-G)tga — B = 0;

cette équation en tg a a deux racines réelles dont le produit est égal à — 1 , et à chacune d'elles correspond une droite indéfinie sur la-

quelle nous pouvons choisir la direction O'af dans un sens ou dans Tautre. Gomme tg a représente précisément le coefficient angulaire du nouvel axe O'afy nous voyons qu'aux deux racines de Téquation (18) correspondent deux droites rectangulaires, et que nous pouvons prendre pour 0 V Tune ou Tautre des directions opposées qui existent sur ces deux droites.

Lorsque Ton a choisi la direction OV, on obtient O'j^ en traçant

une droite telle que (OV, O'y') ='^\ les deux droites indéfinies sur

lesquelles sont placées OV et O'y' sont précisément celles qui correspondent aux deux racines de Téquation (18), et leur ensemble est déterminé d'une manière unique.

Les nouveaux axes étant ainsi déterminés, les formules (17) fournissent les valeurs de A' et G' ; nous pouvons vérifier que les nouveaux coefficients satisfont, quel que soit a, aux relations

A'-f-C' = A-f-G; A'G' — B'* = AC — B»;

pour cette raison, les seconds membres de ces relations sont dits invariants. Dans le cas où B' est nul, nous voyons que A' ou G' ne peuvent pas être nuls ; de plus, qu'ils sont de même signe ou de signes contraires suivant que la courbe est du genre ellipse ou du genre hyperbole.

Tous calculs faits, nous parvenons à une équation de la forme

AV«4-Cy*-|-F' = 0

qui est la plus simple possible, et qu'on appelle équation réduite ; différents cas peuvent se présenter suivant les signes des coefficients. 1® A' et G' sont de même signe ; la courbe est du genre ellipse ; si

F' n'est pas nul et a un signe différent de A' et G' , nous poserons p/ p/

YT = — «' » 'w'~ — ** » ®* l'équation pourra s'écrire

elle représente une ellipse.

Si F' est de même signe que A' et G', l'équation n'est satisfaite par aucune valeur réelle de o;^ et y' ; on dit qu'elle représente

une ellipse imaginaire; enfin si F' est nul, Téquation représente deux droites imaginaires, ayant comme seul point réel Torigine.

2* A' et C sont de signes contraires ; la courbe est du genre hyperbole; en supposant F' noir nul et de signe différent de A' par exemple,

nous poserons --y = — a* , ^57 = 6* et Féquation pourra s'écrire

elle représente une hyperbole.

Si F' est de même signe que A', la conclusion est la même, comme on le voit en intervertissant le rôle de x' et de y' ; enfin si F' est nul, Téquation représente deux droites réelles passant par Torigine.

Les calculs que nous venons d'effectuer permettent de déterminer le centre, les directions et les longueurs des axes d'une ellipse ou d'une hyperbole représentées par l'équation (1).