Genre parabole. Recherebe de la direction de Taxe

Lorsque B^ — AG est nul, la méthode que nous avons suivie pour réduire l'équation du second degré à une forme simple n'est plus applicable, parce que le déterminant des coefficients des inconnues dans les équations (13) qui donnent le centre de la courbe est égal à zéro ; ces équations sont incompatibles ou se réduisent à une seule.

Dans le premier cas, la conique n'a pas de centre ; on dit quelquefois que son centre est à l'infini ; dans le second, elle a une infinité de centres, dont le lieu est la droite représentée par l'une ou l'autre des équations identiques /"i =0, fy = 0. Nous emploierons dès lors une autre méthode de réduction, en simplifiant d'abord les termes du second degré.

Lorsque A est nul, la condition B^ — AC = 0 entraine B = 0; C n'est pas nul, sinon l'équation ne serait plus du second degré, et le seul terme du second degré dans le premier membre est Cy^ . Lorsque A n'est pas nul, nous pouvons nous ramener à ce cas par une transformation de coordonnées en changeant la direction des axes sans changer l'origine.

426 APPUGAT10N8 GÉOMÉTRIQUES

Remarquons que les termes du second degré fonnent un carré parfait, et peuvent s'écrire

si nous prenons deux nouveaux axes rectangulaires Ox', Oy', tels que (Ox, Ox') = a , et si nous utilisons les formules (10), l'expression précédente devient

-^ I (A. cos a -f- B sin a)x' — (A sin a — B cos a)y ' 1 ;

le terme en x' disparait si nous choisissons a par la condition

(19) A cos a + B sin a = 0,

qui donne

^«AN sin a cos a 1

A — B =bv/A»-+-B*

Il ne reste comme terme du second degré que celui qui renferme y'* ; nous pouvons remarquer que le nouvel axe des x' est la direction asymptotique double de la conique, et nous verrons que cette direction est celle de Taxe.

Après la transformation précédente, Téquation devient

le terme tout connu n'ayant pas changé, et les autres ayant les valeurs

C'=i-(Asin« — Bcos«i)» = ^^l^t^i