AD-4-BE
=bv/A*-f-B>' le coefficient G' n'est pas nul.
277. Recherche du sonunet. — Plaçons-nous dans le cas où D' n'est pas nul ; si E' et F sont tous deux nuls, l'équation présente une forme simple ; lorsque cela n'a pas lieu, nous pouvons nous ramener à ce cas par une transformation de coordonnées, en transportant les axes parallèlement à eux-mêmes en un point 0' convenablement choisi.
Soient x^, yi les coordonnées de ce point dans le système Ox\ Oy', et soient O'af, O'y' les nouveaux axes ; les formules de transformation sont
x' = xi4-ir^, y' = î/o-f-y'.
En portant ces valeurs dans Téquation (21) et ordonnant, elle devient
C'y'« -h 2D V -+- 2 (C'yi -f- E')y'' rf- Gt/? -h 2D'xi + 2E'yi + F = 0 ;
nous choisirons d'abord i/o par la condition que le coefficient de y'
soit nul, puis Xq par la condition que le terme constant soit nul ; ce
choix est toujours possible d'une seule manière puisque G' et D' ne sont pas nuls ; il nous reste finalement Téquation
Cy*-h2D'ar'=0,
dont nous ne pouvons pas diminuer le nombre des termes. Nous pouvons supposer que G' et D' sont de signes contraires ; si cela n'avait pas lieu, il suffirait de prendre comme directions positives sur les nouveaux axes les directions opposées à 0 V et O'y" ; cela revient à changer le signe de af et de y" dans Téquation, ou finalement à changer le signe de D' . Les coefficients G' et D' étant de signes contraires,
D' nous poserons — ^^ =/' » ^^ ^^^^ aurons Téquation simple
y''^ — 2paf = Q
que Ton appeUe équation rédaite. Elle représente toujours une parabole, comme celle que nous avons étudiée au n** 97.
Nous voyons que la direction des axes O'af et Oa?' est celle de Taxe de la courbe, et que 0' en est le sommet. Les calculs que nous venons d'effectuer permettent de déterminer l'axe, le sommet et le paramètre d'une parabole représentée par l'équation (i).
Nous allons appliquer cette méthode à la courbe représentée par Téquation (7), n* 272; la direction de l'axe est celle de la bissectrice de
Fangle xOy, et a est égal à -y- ' ^^ sorte que les formules de transformation sont
428 ÀPPUGATI0N8 GÉOMÉTRIQUES
Il est inutile d'appliquer les formules (22) pour calculer les coefficients de Téquation transformée, et il suffit de remplacer dans Téqoation(7) a; et j^ par les valeurs précédentes ; elle devient alors
En posant ensuite
elle se transforme dans Téquation réduite
Cette équation représente une parabole de paramètre p = ^\
son axe est la bissectrice de Tangle osOy, comme il est indiqué dans la figure 89 ; son sommet est le point 0', situé sur cette bissectrice,
et tel que 00' = Y'
278. Condition pour que Téquatlon du second degré représente deux droites. — Nous avons supposé dans le numéro précédent que le coefficient D' n'est pas nul ; lorsqu'il est égal à zéro, l'équation (21) ne renferme plus qu'une variable y' y et son premier membre est décomposable en un produit de deux facteurs linéaires, sous la forme
y[ et y'i étant les deux racines de l'équation en y'. En annulant chacun de ces facteurs, nous obtenons les équations de deux droites parallèles à Ox' , ces droites étant réelles et distinctes, imaginaires ou confondues suivant la nature de y[ et yi. L'équation du second degré représente donc dans ce cas deux droites parallèles.
Nous allons démontrer que la condition nécessaire et suffisante pour que D' soit nul est que le déterminant (15) désigné par A soit égal à zéro ; sa valeur est en effet égale, dans le cas général, à
A = F(AC — B») -f- 2BDE — AE* — CD*. Si nous tenons compte de la relation AC — B' = 0 , et si nous rem-
plaçons C par —j A étant supposé différent de zéro, nous avons
nous voyons que A et D' sont nuls simultanément.
Dans le cas tout à fait spécial où A et B sont nuls, sans que G le soit, réquation (i) est déjà sous la forme (21); pour qu'elle représente deux droites parallèles, il faut et il suffit que D «soit nul ; mais comme A se réduit alors à — CD* , A et D sont encore nuls simultanément.
Nous voyons donc que A == 0 est la condition nécessaire et suffisante pour qu'une conique du genre parabole représentée par Téq nation (1) se décompose en deux droites parallèles. Nous vérifierions facilement que c'est aussi la condition pour que les équations du centre fi = 0, fj=^0 se réduisent à une seule.
Si nous réunissons le résultat précédent à celui que nous avons obtenu au n® 274, nous pouvons énoncer le théorème suivant :
Pour que Véquation du second degré représente deux droites, il faut et il suffit que le déterminant A soit nul; les droites se coupent si le déterminant 8 n'est pas nul; elles sont parallèles ou confondues si S est égal à zéro.
Lorsque B n'est pas nul, le procédé le plus simple pour déterminer les droites dont se compose la ligne du second ordre consiste à faire passer par le centre des parallèles aux directions asymptotiques ; le même procédé est du reste applicable à la détermination des asymptotes d'une hyperbole représentée par une équation quelconque du second degré.
279. Diamètres des courbes du second ordre. — Nous avons vu (n** 254) que les points de contact des tangentes à une conique parallèles à une droite de coefficient angulaire m sont situés sur une droite représentée par l'équation
que nous avons appelée diamètre. Nous allons montrer que cette droite est aussi le lieu des milieux des cordes de la conique parallèles à la droite donnée.
430 APPUCATIOlfS GÉOMÉTRIQUES
Soient MM' une telle corde {fig, 93) et P son milieu; si (x,y) sont les coordonnées de ce point P , a Tangle que fait avec Ox la direction MM', p la valeur relative d'un vecteur issu du point P et
placé sur cette corde, les coordonnées X, Y jyj/ de Textrémité de ce vecteur sont (n* 78)
X = a? -f- p cos «, Y = y H- p sin a.
En écrivant que X et Y satisfont à l'équation de la courbe, nous aurons la relation
Fig. 1».
f(x-\-p cos a, y -h p sin a) = 0;
en développant le premier membre d'après la formule de Taylor comme nous Tavons fait au n° 164, nous récrirons
/'(x,y)-4-p(/'icosa + /'^sin a) -h p*(Acos*a-|- 2B cos a sin a -f- Csin* a)=0.
C'est une équation du second degré en p, et ses racines sont les valeurs relatives des deux vecteurs PM et PM' . Si le point P est le milieu de la corde MM', les deux valeurs de p fournies par l'équation précédente sont égales et de signes contraires, et leur somme doit être nulle; en écrivant cette condition, nous trouvons entre x et y la relation
(24) /'icosa + /';sina = 0.
Si nous remplaçons tg a par le coefficient angulaire m de la direction donnée, nous obtenons précisément l'équation (23) ; cette relation est la condition nécessaire et suffisante pour que le point (x, y) soit le milieu d'une corde de coefficient angulaire m ; elle est donc l'équation du lieu des milieux de ces cordes, ce que nous voulions établir.
Lorsque la conique donnée a un centre, nous pouvons remarquer que l'équation (23) est satisfaite par les coordonnées de ce centre, puisqu'elles annulent fl et fy ; nous en concluons que tous les diamètres passent par le centre ; ce résultat est évident géométriquement.
280. Diamètres conjugués et axes. — L'équation (23) du diamètre
de la direction m est, en développant les calculs,
Aaî-HBy + D-4-m(Ba;-|-Gy-hE) = 0;
le coefficient angulaire m' de cette droite a pour valeur
, A 4- Bm .
B-hCm
nous déduisons de là qu'entre m et m' existe la relation (25) AH-B(m-hm') + Cmm' = 0.
Elle est symétrique en m et m' ; nous en concluons qu'inversement le diamètre de la direction m' a pour coefficient angulaire m ; les deux directions m et m' sont dites conjuguées. Dans le cas d'une ellipse ou d'une hyperbole, deux diamètres passant par le centre et dont les directions sont conjuguées sont appelés diamètres conjugués ; chacun d'eux coupe en deux parties égales les cordes parallèles à l'autre.
Les directions des axes d'une conique sont deux directions conjuguées et dé plus rectangulaires ; leurs coefficients angulaires satisfont à la relation (25) et de plus à la condition de perpendicularité
mm'-hi =0.
Pour trouver les coefficients angulaires des axes, il suffit de remplacer m' par ^^ dans la relation (25), ce qui donne l'équation
Bm«-h(A — C)in — B = 0;
elle est du second degré en m et a deux racines réelles dont le produit est égal à — 1 ; ces deux racines sont donc les coefficients angulaires de deux directions rectangulaires.
Lorsqu'on a ainsi trouvé les directions des deux axes, il suffit de déterminer le diamètre de chacune de 'ces directions pour avoir Taxe parallèle à l'autre ; remarquons que l'équation précédente est équivalente à Téquation (18) du n** 275, qui a servi à trouver les directions des axes dans la réduction de l'équation du second degré.
281. Diaaiètres de relllpse. — Appliquons les considérations précédentes à l'ellipse représentée par l'équation
APPLICATIONS GÉOHÉTRIQIJES
Le diamètre de la direction m a pour équation
son coefficient angulaire m' a pour valeur — » de sorte qu'entre
m et m' existe la relation
mm' = ;
c'est la relation qui existe entre les coefficients angulaires de deux diamètres conjugués. Gomme le produit mm' est négatif, on voit que deux diamètres conjugués tels que MMi et M'M^ (fig. 94) sont toujours situés dans des angles différents formés parles axes Ox, Oy . Nous pouvons ajouter que les tangentes aux extrémités de chaque diamètre sont parallèles au diamètre conjugué ; par suite, les tangentes en M , Ml , M' et Mi forment un parallélogramme circonscrit à Tellipse. Lorsqu'on prend comme axes de coordonnées Ox' et Oy' deux
diamètres conjugués tf d'une ellipse tels que
OM et OM', Téquation de la courbe doit être telle qu'à chaque valeur de x' correspondent deux valeurs de y' égales et de signes contraires, et à chaque valeiur de y^ correspondent également deux valeurs de x' égales et de signes contraires ; cela ne peut avoir lieu que si l'équation ne renferme ni x" ni y' au premier degré ; elle a donc la forme
AV«-hCy«-+-F' = 0;
nous pouvons l'écrire, en introduisant les longueurs OM = a' et OM' = b' des demi-diamètres conjugués,
Fig. 94.
Nous voyons qu'elle a la même forme que lorsque l'ellipse est rap-
portée à ses axes, mais il faut remarquer toutefois que deux diamètres quelconques forment un système d^axes de coordonnées obliques.
282. Théorèmes d'Apollonlos. — La somme des carrés de deux diamètres conjugués d'une ellipse est égale à la somme des carrés des axes,
La surface du parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués est égale à la surface du rectangle construit sur les axes.
Soient (x,y) les coordonnées de Textrémité M d*un diamètre,
(^»yO celles de l'extrémité M' du diamètre conjugué ; si 9 et 9'
sont les paramètres angulaires relatifs à ces deux points, nous avons
X = a cos 9 , y = fc sin ç ,
x* = a cos ç' , y' = b sin 9' .
D'après la relation (26) qui existe entre les coefficients angulaires
m = -2t et m' = -2^ des deux diamètres, nous avons entre 9 et »' la
relation
y sin y sin y^ 6^
a* cos 9 cos 9' a*'
ou bien tg 9 tg 9' = -— i ;
nous en concluons que 9' est égal à 9-+--^ ou à 9-hir*
Nous pouvons adopter pour 9' la valeur 9 -H ■?• ; Tautre valeur
correspondrait au point M( diamétralement opposé à M' et rien ne serait changé dans les conclusions qui suivent ; en remplaçant 9' par cette valeur, nous avons
x' = — a sin 9 , y' = b cos 9 .
La somme des carrés des diamètres MMi, M'Mi est égale à 4(aî* -I- y« -I-. a;'* -H y'*) ; en remplaçant x,y ,x\y' par leurs valeurs, nous trouvons qu'elle est égale à 4(a^ + 6'), et le premier théorème est démontré.
La surface du parallélogramme construit sur les deux diamètres est égale à 8 fois celle du triangle OMM' ; d'après la formule du n® 87, elle a pour valeur
k(jf'x — x'y) = 4a6(cos*9 "^ sin*9) = 4a6 , et le second théorème est démontré.
VocT. — Math. sup. 28
434 AFPLlCATlOfilS OâOMÉTAL<}D£S
Si Ton désigne par a' et V les loaguears de deux demi-diamètres conjugués OM, 0M^ et par 6 l'angle qu'ils font entre eux, les théorèmes d'Apollonius s'expriment par les deux relations
a'» -^ 6'» = a« -h AS a'V sin6 = a6.
2^8. Diamètres de Thyperliole. — Pour trouver les propriétés des diamètres de l'hyperbole représentée par l'équation
il suffit de changer h^ en — 6* dans les résultats trouvés pour l'ellipse; l'équation qui lie les coefficients angulaires m et m de deux diamètres conjugués est
mm! =1 —r , a*
m et m' sont toujours de même signe, mais, leur produit étant -^
h l'un est en valeur absolue inférieur k — et l'autre est supérieur à cette
quantité ; comme — est la- valeur absolue du coefficient angulaire ies
asymptotes, on voit que deux diamètres conjugués OM, OM' de
l'hyperbole sont tou- \ ^x^ jours dans le même
angle des axes Ox, Oy^ mais sont toujours séparés par les asymptotes (Jpg. 95); l'un rencontre en des points réels H et Mt Thyperbole donnée, l'autre la renconti^e en des points imaginaires, mais coupe l'hyperbole conjuguée en Fig. gS. des points réels M' et
Mi. Onvérifieraitfaci-
lement que les tangentes aux deux courbes en ces q^iatre points
forment xat parallélogramme dont les côtés sont parallèles aux diamètres.
En désignant par a' et b' les longueurs des demi-diamètres conjugués OM et 0M% Téquation de la courbe rapportée à ces deoûdiamètres comme axes est
S^t4. IHamèlres de la parabole. — Le dia^nètre de ia direction de coetficient angulaire m dans la parabole représentée par
est représenté par Téquation
— p-f-my=0;
nouis voyons qu'il ^t parallèle à Taie de la courbe.
En prenant comme axes de coordonnées un diamètre lOV Ae la parabole et la tangente Q'y' à l'extrémité, Téquation de la courbe a la forme
mais les axes de coordonnées ne sont rectangulaires que lorsqu'ils sont formés par Taxe de sj^nétrie de la parabole et par sa tangente au souHiet.
Lorsque l'équation générale du second degré représente une parabole, la direction de Taxe de cette courbe est celle d'un diamètre quelconque, en particulier, cieUe des droites représentées par fi = 0 ou f^z=iO; c*est donc la ibreetian de l'une des droites
Aa: -H By -t- D = 0, Ba? h- Cy -4- E = 0 .
On a l'axe lui-inême en cherchant le diamètre conjugué des cordes (Msrpendiculaires à la direction précédente.
