Intersection de d^x coniques. — Les coordonnées des

APPUCATIONS GÉOMÉTBIQUES

points communs à deux coniques S et St représentées par les équations

2hxy -f-Cy* +2Dar +2Ey h- F =0, Qy « H- 2D,a? -h 2E,y -h F| = 0

sont les valeurs de x et y qui satisfont à b fois à ces deux équations ; pour les trourer, on élimine entre elles une des inconnues, par exemple x\ le procédé le plus simple consiste à former une combinaison qui renferme cette inconnue au premier d^ré, et à Féliminer entre cette nouvelle équation et Tune des premières ; on obtient ainsi une équation résultante ft(y) = 0 , qui est en général du quatrième degré et fournit les ordonnées des points cbercbés ; à cbaque racine de cette équation correspond une valeur de x, par suite un point commun aux deux coniques. Les deux courbes ont ainsi en général quatre points communs, comme l'indique du reste le théorème de Bezout (n* 225).

Lorsque Tune des coniques S ou St est réduite à un système de deux droites, il suffit, pour trouver leurs points communs, de déterminer les points où chacune de ces droites coupe l'autre conique.

L'équation

représente, quel que soit X, une conique Ss qui passe parles points

communs aux deux coniques S et Si ; cette remarque permet de simplifier dans certains cas la recherche des points communs à ces deux coniques, car on peut remplacer Time d'elles par la conique Ss et choisir X de façon que le déterminant A relatif à l'équation de cette conique soit nul; elle se réduit alors à un système de deux droites.

Supposons que la conique Si soit formée de deux droites, et que (p(x, y) soit décomposable en un produit de facteurs du premier degré que nous représenterons par P et Q,

ces facteurs égalés à zéro représentant les deux droites ; l'équation (28)

prend alors la forme

/•(x,y)-hXPQ = 0;

ÉTUDE DES CQllRBES DU SECOND ORDRE

toutes les coniques qu'elle représente, telles que S« (Jig, 96), passent

par les points communs à S et aux deux droites.

Lorsque ces droites viennent se confondre, Q devient identique à P; les quatre points communs viennent se confondre deux à deux ; la conique S« est alors représentée par une équation de la forme

Fi«- 97-

/•(x,y) + XP« = 0.

On peut vérifier que les tangentes à S et Si aux points communs à S et à la droite P=:0 sont les mêmes ; on dit alors que les coniques S et S2 sont bitangentes (Jig. 97).